矩形斜边中线定理典型题目(难题).doc

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1、矩形典型例题 1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为__________2.已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO，连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点。（1）如图（1），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=60°，则△PMN的形状是_____，此时=_____；（2）(初二不做)如图（2），若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO=2α，证明△PMN∽△BAO，并计算的值（用含α

2、的式子表示）； （3）在图（2）中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值。参考答案：1.考点：矩形的性质专题：分析：连接OP，过点A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面积求出AG，然后根据△AOD的面积求出PE+PF=AG．解答：解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，∵AB=3，AD=4，∴BD===5，S△ABD=AB•AD=BD•AG，即×3×4=×5×AG，解得AG=，在矩形ABCD中，OA=OD，∵S△AOD=OA•PE+OD•PF=OD•AG，∴PE+PF=AG=．故PE+PF=．点评：

3、本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．2.解：（1）等边三角形；1；（2）连接BM、CN，由题意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α，∵A、O、C三点在同一直线上， ∴B、O、D三点在同一直线上，∴∠BMC=∠CNB=90°，∵为BC中点， ∴在Rt△BMC中，PM=BC，在Rt△BNC中，PN=BC，∴PM=PN，∴B、C、N、M四点都在以P为圆心，BC为半径，∴∠MPN=2∠MBN，又∵∠MBN=∠ABO=α， ∴∠MPN=∠ABO，∴△PMN∽△BAO，∴M

4、N/PM=AO/BA，由题意：MN=AD，又PM=BC，∴AD/BC=MN/PM，∴AD/BC=AO/BA，在Rt△BMA中，AM/AB=sinα，∵AO=2AM， ∴=2sinα，∴=2sinα；（3）。