特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用.ppt

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1、特殊三角形与特殊角三角形在几何题型中的应用特殊三角形等腰三角形等边三角形一般的直角三角形等腰直角三角形有30°角的直角三角形顶角为120°的等腰三角形特殊角30°150°45°135°60°120°特殊角三角形可分两类：1、只有一个特殊角的三角形2、有两个特殊角的三角形注：此处不包括特殊三角形1、只有一个特殊角的三角形1、只有一个特殊角的三角形1、只有一个特殊角的三角形一个特殊角需要两条已知边辅助线：高（特殊角其中一条边上的高）变成两个直角三角形，其中一个是有特殊角的直角三角形2、有两个特殊角的三角形2、有两个特殊角的三角形2.有两

2、个特殊角的三角形两个特殊角需要一条已知边辅助线：高（两特殊角公共边上的高）变成两个直角三角形，且两个都是有特殊角的直角三角形干嘛使？---求值！求哪些值？求边求角求面积等等等...例1、(2014年海淀区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=4，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．（1）求四边形ABCD的面积；（2）求BD的长．点评：第1问求两个特殊三角形的面积和第2问找出BD所在的三角形，然后过滤特殊三角形与特殊角三角形，就能发现如△ADB就是一个有120°角，且有边AD，AB已知的特

3、殊角三角形，问题迎刃而解！例2、（2012年北京中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积．点评：找特殊三角形和特殊角三角形，发现△ABE为等腰三角形，△ABC为一般的直角三角形，而△DEC则有两个特殊角，且有DE这条边已知，问题即可迅速解决。例3、(2015年海淀一模)如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=1

4、4，DE=8，求sin∠AEB的值点评：第1问此处略去100字，第2问，只需找出△ABE这个特殊角三角形就可解决例4、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．点评：第1问真的懒得看哈，第2问，发现△APD为特殊角三角形有木有？综合练习、如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕

5、点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，证明：BQ=AP；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，第（1）问的结论是否任然成立，若不成立请说明理由；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．图1图2图3例5、(2014年朝阳区一模)如图，△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．（1）求证：EF∥BD；（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．点评：此题

6、中非常简单，大家瞧一眼就会吧。例6、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例7、（2014顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．点评：发现图形是一个30°角的直角三角形，补全这个直角三角形就可解决问题例8、已知：如图，为等边⊿ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5，求∠APB的度数。点评：根

7、据已知条件的三条边的关系想着去构造直角三角形，此处运用旋转的思想构造特殊三角形例9、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数。点评：思路跟前面一题思路一样，只是等边三角形旋转构造特殊三角形旋转60°，等腰直角三角形或正方形则旋转90°。例10、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长。点评：此题通过观察特别像手拉手模型因此想办法补全模型，因为∠ADC=30°，结果还能发现AD⊥DE，从而构造出了直角三角形，而根据手拉手模

8、型求BD等价于求AE。例11、如图，三角形ABC，∠BAC=30°，AP=3，在AB,AC边上分别取D,E两点，连接PD,DE,PE，求△PDE周长的最小值点评：最短距离问题，运用两点之间线段最短∠BAC=30°，对称之后自然就是等边