正交试验结果的统计分析方法.ppt

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1、实验设计与数据处理第二章实验结果的统计分析方法——方差分析法2021/9/9方差分析所要解决的问题：各影响因素对结果影响程度的相对大小；各影响因素间是否存在相互作用；实验条件如何优化。通常称多次实验结果之间的差异为变差，变差一般用偏差平方和表示。各因素形成的偏差平方和恰好等于总偏差平方和，即偏差平方和具有加和性，这是建立方差分析的基础。2021/9/9本章内容：2.1概述2.2单因素方差分析2.3无重复两因素方差分析2021/9/92.1概述2.1.1基本概念（1）因素：表示对结果产生影响的各种条件、方式、方

2、法等，如温度、时间、酸度等。（2）水平：一种因素的各种不同取值状态，如温度、压力等的不同取值。（3）指标：结果的标志，可体现为收率、产量等。（4）偶然误差：因未能控制的“偶然因素”所引起的误差叫“实验误差”，即随机误差。（5）系统误差：由于实验因素的变异引起实验结果的数量差异，也称为“条件误差”。2.1.2方法把全部数据关于总体平均值的方差分解成几个部分，每一部分表示方差的一种来源，将各种来源的方差进行比较，判断实验各有关因素对实验结果的影响大小。2021/9/9【例2－1】考察催化剂对收率的影响，分别用5种

3、催化剂独立进行实验，每种催化剂测试4次，得收率如下表：因素：催化剂；水平：5种指标：收率偶然误差：每种催化剂下所得结果的标准差s系统误差：各催化剂下所得平均值的差异催化剂12345收率/％0.860.800.830.760.960.890.830.900.810.950.910.880.940.840.930.900.840.850.820.94平均值/％0.89000.83750.88000.80750.94502021/9/92.2单因素方差分析研究单一因素对试验结果的影响。此时，方差分析的目的是考察一个

4、因素的m个水平对实验结果是否存在显著影响。数学模型：xij=µ+ai+rij式中，µ：总体平均值；ai：i水平（i=1,2,…,ni,ni为水平重复数）对结果的影响，即i水平下的系统误差；rij：随即误差（j=1,2,…,m,m为水重复平数）。该数学模型表示：实验结果＝总体平均值＋因素作用＋随即误差2021/9/92.2.1单因素方差分析基本公式设有m个相互独立的正态总体:各个总体的方差相等：现从总体中抽取容量为ni的随机样本：设为从第i个总体抽取的样本平均值（组平均值），为总平均值，n为从m个总体中抽取的样

5、本总容量，则：2021/9/9样本对照表2021/9/92.2.2偏差平方和设Q为偏差平方和，即所有样本测定值与总体平均值之差的平方和，则：式中最后一项为协方差，由于：所以2021/9/9令：则：Q=Qe+U1单因素方差分析的基本关系式，说明偏差平方和具有加和性，即总偏差平方和可以分解为具有不同来源的若干项。Qe为组内偏差平方和：表示各水平下多次实验结果间的差异。由于因素影响完全相同，所以为随机波动所致，属于随机误差。U1为组间偏差平方和：反映各样本平均值间的差异，即在因素不同的水平下实验结果相互间的差异，它

6、说明了因素的不同水平对结果的影响。2021/9/92.2.3方差分析统计量（1）自由度令f、fe及f1分别为总自由度、组内（随即误差）自由度和组间自由度，则：表明自由度具有加和性2021/9/9（2）方差令分别为总方差、组内方差和组间方差，则有：（3）统计量为构造统计量，先求出Qe、U1的期望值：表明，不论各总体平均值µ1，µ2，…µi，…，µm是否相等，为σ2的无偏估计量2021/9/9令则可以推得：可见，只有当µ1=µ2=…=µi=…=µm时，才是σ2的无偏估计量，否则它的期望值将大于σ22021/9/9

7、式中，第二项表达了因素不同水平的影响，为判断因素的m个水平对实验结果的影响是否存在显著性差异，只需判断该项是否存在即可。为此，可进行F-检验，用如下统计量：若因素的m个水平对实验结果的影响不存在显著性差异，则相当于各总体均值相等。则第二项为0，有相同的期望值，皆为σ2。此时，统计量应趋于1。若因素的不同水平对结果存在显著性影响，则的期望值不等，此时，统计量将明显大于1。因此，可以根据F的大小（与临界值比较）判断有关因素的不同水平对实验结果是否存在显著性影响。2021/9/9单因素方差分析的程序：①提出原假设和

8、备择假设：原假设为H0:µ1=µ2=…=µi=…=µm备择假设H1：各总体均值不等②设原假设的前提成立：③由已知条件计算统计量：计算偏差平方和、自由度及F值④根据显著性水平α，查出，若，原假设成立；若，原假设不成立，而备择假设成立⑤最后，将计算结果及结论整理成方差分析表。2021/9/9单因素方差分析表2021/9/9【例2－2】考察催化剂对收率的影响，分别用5种催化剂独立进行实验，每种催化剂测试4