机械系统动力学第7章.ppt

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1、第七章基于有限元法的振动分析7．1弹性力学基础：方向变形场：非线性的格林应变张量线性的柯西应变张量应力张量弹性模量：各向同性时：式中，克罗尼科尔符号：式中：E为弹性模量，v为泊松比二维时：一维时：不同应力状态下弹性模量（对称阵）的表达：——变形能1．三维应力状态材料各向同性时：式中：2．平面应变状态3．平面应力状态4．单轴应力状态广义虎克定理:则应力可表为：或:举例：拉压杆的变形与应变、应力：由边界条件　　　　　　　　　　设变形场为:解得：变形场：（线性）柯西应变：说明杆的应变为常数。（非线性）格林

2、应变：是精确的，与端位移成非线性。问题关建是确定变形场再举拉压杆为例：已知两端位移为，设方向对应位移场为，故设有：由边界条件可得方向位移场则可得对应柯西张量的线性应变和格林张量的非线性应变：7．2有限元基础插值理论（真实）精确函数　，插值函数希望通过插值函数得到精确函数7．2．1拉格朗日插值：在特定点P处两函数值相等，插值函数的构成是形函数，是结点函数值，如结点位移。形函数构成——范德蒙阵，——基向量要注意基向量的完备性，不持没有根据的偏向性。将　　　　　　代入　　　　　　　　　　　，注意到为插值函

3、数在p点处的值同时，将任一点q的位置坐标代入插值函数的基向量，则可得点q处函数值：因为　　　　　，对照上式有：即矩阵形式表为由　　　　　得形函数：拉压杆单元为例：杆具有两结点位移，故取基向量的项数为2：杆始端处杆末端处将点的位置坐标代入基向量得：求逆后得形函数所需的范德蒙阵：得形函数为：变形场为：应变：　　　　　　　　　　　应力：6结点平面三角单元基向量　　　　　　　，点坐标将点坐标代入基向量得，求逆后得形函数所需的范德蒙阵：得形函数：7．2．2高阶插值（Hermite插值）真实函数　和插值函数在特

4、征点p处不再单纯是函数值相等，而是要满足经某种运算后仍相等：——某特定算子插值函数的构成：形函数构成：平面弯曲梁单元的变形场：梁单元边界位移和基向量为：对应四个算子为：将以上算子用于基向量得：求逆后得形函数：位移场为：平面梁位移场2：对应算子为：将算子用于基向量得：求逆后得形函数：则位移场可得：7．3有限单元方程知位移场：则得应变：式中：为线性应变，为非线性应变。在一般线性有限元分析中，我们只取线性应变部分，即：在以下的分析中，我们不再使用非线性的格林应变张量，而用线性的柯应变张量：矩阵形式的位移场

5、、应变、应力表为：由虚位移原理建立单元运动方程：虚功原理：内力虚功等于外力虚功内力虚功单元静力平衡方程：为简化计算，先忽略分布力，由式　　　　　　　　得：矩阵形式的单元静力平衡方程表为：式中：单元动力平衡方程：以体积分布力的单位质量惯性力为：单元中的惯性力虚功为：式中：同理，假定阻尼正比于点的速度，单元中的单位阻尼力则为：单元中的阻尼力虚功：将式和式代入　　　　　　　　　得单元动力平衡方程：或表为矩阵形式：式中：分别称为刚度阵、阻尼阵、质量阵，它们皆与形函数有关。运用拉氏方程建立单元动力平衡方程：其

6、中拉氏函数：动能：取则位能：耗散函数：已知：，　　　，，可得：由拉氏方程得单元运动方程：例：杆单元刚度阵K推导：由前已得到位移场：12杆单元质量阵M：同理，可推出杆单元阻尼阵C：梁单元运动方程：先考虑方向位移场：，　　　　　　，　　　　　　，基向量将算子用于基向量得：得方向形函数和位移场：注意到位移场　和位移场　的关系：上式对积分得：梁形心轴在方向之位移场：由梁两端点条件：得基向量等：从而确定梁形心轴在方向之位移场至此，位移场和位移场皆可得到，对应的形函数为：因为：该梁为单轴应力状态，即又：将形函数

7、　　和阵等代如式得梁单元刚度阵K、阻尼阵C、质量阵M等阵：从单元到系统的集成：先单元方向转换，再组装系统方程。单元阵写成矩阵形式为局部到整体的变换关系：推出即由单元方程组装得系统方程单元与系统关系阵H=100122001230056412565123463456