无穷区间上的反常积分简介.ppt

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1、6.4无穷区间上的反常积分简介6.4.1无穷区间上的反常积分的概念6.4.2无穷区间上反常积分计算举例例1求由曲线y=e-x，y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b[0,+)，在有限区间[0,b]上，以曲线y=e-x为曲边的曲边梯形面积为by=e-xyxO(0,1)开口曲边梯形的面积一、无穷区间上的广义积分y=e-xyxbO(0,1)即当b+时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，定义1设函数f(x)在[a,+)上连续，取实数b>a，如果极限则称此极限为

2、函数f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义2设函数f(x)在(-,b]上连续，取实数a>b，如果极限则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-,b]上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即存在，否则称广义积分发散.定义3设函数f(x)在(-,+)内连续，且对任意实数c，如果广义积分则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作即都收敛，否则称广义积分发散.若F(x)是f(x)的一个原函数，

3、并记则定义1，2，3中的广义积分可表示为例2求解例3判断解由于当x+时，sinx没有极限，所以广义积分发散.例4计算解用分部积分法，得例5判断解故该积分发散.例6证明反常积分当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.证p=1时，则所以该反常积分发散.当p>1时，综合上述，该反常积分收敛.当p≤1时，该反常积分发散.p1时，则定义4设函数f(x)在区间(a,b]上连续，取e>0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且记作即存在，二、无界函数的广义积

4、分定义5设函数f(x)在区间[a,b)上连续，取e>0，如果极限则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分.这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且即存在，定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c(a,b)外连续，如果下面两个反常积分则称这两个反常积分之和为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.记作即都收敛，若F(x)是f(x)的一个原函数，则定义4，5，6中的反常积分可表示为例7判断解故积分的收敛.-例8讨论反常积分解当p=1时，则故积分发散.当p

5、1时综上所述，得：当p<1时，该反常积分收敛，≥