数理方程-总结复习及练习要点.ppt

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1、第二篇数学物理方程1基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法2数理方程基本知识数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微分方程就是数学物理方程。数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生的物理问题又各具有自身的特殊

2、性，即个性。3具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方程。约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。数理方程基本知识4数理方程基本知识我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周围边界的物理状况，即边界

3、条件。另一类关乎于物理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理量研究初始时的状况，即初始条件。数学上边界条件和初始条件也统称为定解条件。5数理方程基本知识由泛定方程、定解条件构成的研究数学物理方程的问题称为数学物理定解问题，准确地说就是在给定定解条件下求解数学物理方程。偏微分方程的基本概念偏微分方程的阶数最高的求导次数偏微分方程的齐次与非齐次不含有研究函数的非零项偏微分方程的线性与非线性6数理方程基本知识劈形算符符合矢

4、量运算Laplace算符7数理方程基本知识场的概念物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场数量场和矢量场如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性，只有大小之分，这个场就是数量场，如温度场，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称这个场为矢量场，如速度场、电磁场、引力场8数理方程基本知识场的表示除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量分布；数量场矢量场其中A中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的分量9数理方程基本知识方向导数数量场函数沿射线的差商的极限存在，

5、则称此极限为数量场在点沿方向方向导数，记作如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导数反应的是数量场在点出沿方向e对距离的变化率。10数理方程基本知识梯度gradu称为数量场u的梯度，它的方向与u在M点上升的最快的方向同向11数理方程基本知识发散量对于一般的矢量场和封闭曲面，我们称向着的外法矢量方向流过的流量为发散量散度单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点M0的散度，用于描述场发散或汇聚的快慢，记作12数理方程基本知识Gauss定理对于一般的矢量场13基本知识定解问题的确立及分析定解问题求解之

6、行波法定解问题求解之分离变量法定解问题求解之Green函数法定解问题求解之积分变换法14泛定方程的建立如何获得给出问题的泛定方程？将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的线性的符合已知物理规律的问题；例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得；杆的纵振动通过分析杆微元受力获得；浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得；温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得15泛定方程的建立16泛定方程的建立如何获得给出问题的泛定方程？扩散方程结合高斯定律热传导定律结合高斯定律17泛定方程的建立从物理角度看三大类泛定方程

7、波动方程(描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物理现象的泛定方程)其中齐次情况下f(M,t)=0输运方程(描述温度传播、浓度扩散的泛定方程)其中齐次情况下f(M,t)=0稳态方程(描述静电场、稳定浓度分布的泛定方程)其中齐次情况为拉普拉斯方程18泛定方程的建立从数学角度看三大类泛定方程波动方程属于双曲型输运方程属于抛物型稳态方程属于椭圆型双曲型抛物型椭圆型判定依据19定解条件的确定初始条件t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是对时间变量的导数或者两者皆有(视偏微分方程中对时间变量求导的

8、阶数而定)注：1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点;2.稳定场问题没有初始状态；20定解条件的确定边界条件边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以是物理量在边界外法线方向上方向导数的值，或上述两种情况的线性组合，具体分为三种边界条件：第一类狄里希利问题第二类诺依曼问题第三类注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解21定解问题的形成及分析泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有