高中数学一题多变问题.doc

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1、一题多变典型实例设椭圆过点，且左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足.证明：点总在定直线上.解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：ABPQ如图，设，由三角形的相似得：化简得：现设直线（k必存在）代入椭圆方程，得：由韦达定理，得：代入式，化简得：，代入直线方程，得：两式联立，消去，得：，即点在定直线上，得证.变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.变2：设双曲线，过点（其中）

2、的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.变3：设抛物线，当过点（其中）的动直线与抛物线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上.证明：设直线，代

3、入抛物线方程，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即：现韦达定理代入式，化简得：，化简得：点在直线上，得证.而由圆锥曲线的对称性知：，所以轴