用不等价转化解.doc

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1、用“不等价转化”解题等价转化思想是一种重要的数学思想，在解题中的作用往往体现在化复杂为简单、化陌生为熟悉，并且通过等价转化的结果是不需要检验的.但在数学解题中，有很多情形不易、不宜、甚至是不可能进行等价转化(比如，解超越方程、解超越不等式、由递推式求数列通项公式等等)，这时只有“退而求其次”，可以考虑用“不等价转化”的方法来解题：常见的方法有“先必要后充分”和“先充分后必要”.下面通过例题的解答来阐述这两种解题方法.1“先必要后充分”例1若函数为正常数)是奇函数，则a的取值范围是________.解.若用等价转化来求解，就要对进行

2、一系列的等价变形，再由得到的恒等式求出正常数a的取值范围.其中的运算量较大且复杂.但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解：函数的定义域是，而奇函数的定义域关于原点对称，所以.接下来，还可验证当时，函数是奇函数：所以所求a的取值范围是.例2(2013年高考江苏卷第14题)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．解12.设等比数列{an}的公比为q.由a5＝及a5(q＋q2)＝3得q＝2，所以a1＝.可得a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，

3、即①接下来，若再进行等价转化求出其解集，必将不易.但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解：由①，可得N*)N*)还可验证时①成立(即也即)，所以满足题设的最大正整数n的值为12.例3(2012年高考浙江卷理科第17题)设R，若时均有，则.解.可得当时，与的值互为相反数，所以令后，可得.还可检验满足题意，所以.例4(2013年高考全国大纲卷文科第21题)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解(1)略.(2)由f(2)≥0，得

4、a≥－.当a≥－，x∈(2，＋∞)时：f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3(x－2)>0所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数.于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.综上所述，可得a的取值范围是.例5(2012年高考新课标全国卷文科第21题)设函数.(1)求的单调区间；(2)若为整数，且当时，，求的最大值.解(1)减区间是，增区间是.(2)可得题设即恒成立.接下来，若再进行等价转化(比如，分离常数后求相应函数的最值)，可能不易解决(因为求最值时需要求导函数的零点，很可能求不出来).但我们可以运用“先必要后充分”的方

5、法来求解：由时成立，得，所以整数.还可证时成立：设，得因为，所以.所以所求的最大值是2.例6已知函数设，若当时，Z)恒成立，求k的最大值.解可得，所以.由恒成立，得Z)，所以.还可用导数证得恒成立(过程略).所以所求k的最大值是3.例7设.(1)求函数的单调区间；(2)求使对恒成立的实数a的取值范围(其中e为自然对数的底).解(1)可得.当x变化时，的变化情况如下表所示：xa+0↗极大值↘所以函数的单调增区间是，减区间是.(2)若对题设“对恒成立”进行等价转化，则须求出函数在区间上的最大值和最小值，就须对参数a进行分类讨论，解法会

6、很复杂.但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解：由题设，可得.再由(1)的答案知，函数在上单调递增，所以使对恒成立，所以所求实数a的取值范围是.例8(2013年高考新课标卷I理科第21题)已知函数.若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.(1)求的值；(2)若时，，求的取值范围.解(1)(过程略).(2)若对题设“当时，恒成立”进行等价转化，则需分离常数并分类讨论，求相应函数的最大值或最小值，过程会较复杂.但我们可以运用“先必要后充分”的方法来求解：由时成立，得.由时成立，可得.所以可得题设即“时恒成立”.得，令，得.进而还

7、可得：函数的最小值，所以所求的取值范围是.例9(南京市、盐城市2012届高三年级第三次模拟考试数学试题第14题)若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______.解由时成立，得或.这就是所求的一个必要条件.再由此进行分类讨论，即可获得答案.设，得.当时，可得是减函数，所以，得的值域是.又，所以，得此时不满足题意.当时，可得，所以.得，所以所求实数的取值范围是.例10已知椭圆G：的离心率为，短半轴长为1.(1)求椭圆G的方程；(2)设椭圆G的短轴端点分别为，点是椭圆G上异于点的一动点，直线分别与直线于两点，以线段MN为直径作圆.

8、①当点在轴左侧时，求圆半径的最小值；②是否存在一个圆心在轴上的定圆与圆相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由.解(1)椭圆G的方程为.(2)①设，得.所以直线的方程为.令，得.同理可得.得.所以圆半径.得当且仅当时，圆C的半径最小且最小