动态几何课件.ppt

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1、例析中考数学中的动态几何问题王盛裕主讲:浙江省宁波市惠贞书院纵观近几年的各国各地中考试题，涉及动态几何问题屡见不鲜，这类问题融几何、代数、三角于一体，用到的知识点有相似三角形的性质、勾股定理、圆中的有关定理、面积关系等，解题过程中蕴含着数形结合、分类讨论、函数与方程、转化思想等。动态几何问题的一般解题方法是：对于定点或定值问题。首先在特殊（极端）情形中求出这个不变量，然后转化为常规的论证题进行证明，对于探索数量关系的问题，要善于模仿，类比和转化，甚至创新，特别考虑运动过程中不同情形时,要应用分类讨论的思想方法。下面分类举例加以说明，供同学们复习时

2、参考。一．探索点的位置例1：如图1，A、B为两定点，O为动点，在AB所在平面上异于O的一侧取点A’和点B’，使∠OAA’＝∠OBB’＝90°，且BB’＝OB，AA’＝OA，设A’B’的中点为O’，（1）想一想，当O在平面上移动时，A’B’的中点O’的位置将怎样变化？（2）试证明你的结论。分析：试取动点O的几个特殊位置，可看出O’的位置将不随O点的移动变动，即点O按条件移动时，点O’的位置不变。证明：如图2，过O、A’、O’、B’分别作AB的垂线，垂足依次设为C、D、E、F，显然，△AOA’≌△OCA，△BFB’≌△OBC。从而AD＝OC＝BF，A

3、’D＝AC，B’F＝BC又梯形DFB’A’中，显然DE=EF，∴AE＝AD＋DE＝BF＋EF＝EB则O’E＝1/2（A’D＋B’F）＝1/2（AC+CB）＝1/2AB由此可见，无论点O移到何处，O’点必在AB的中垂线上异于O的一侧，且距线段AB为1/2AB处，即△AO’B为一等腰直角三角形，这就是说，A’B’的中点O’的位置始终保持不变。（当点O移动到AB上侧时，则点O’的位置将移动到AB的下边，且两个位置关于AB对称。）二．探索角的（2）当点P在AB延长线上的位置如图4和图5所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作

4、法，保留痕迹）。设此角平分线交AC于D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP度数。大小例2：已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C，（1）当点P在AB延长线上的位置如图3所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP度数。猜想：∠CDP度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。分析与证明：测量得，三个图中的∠CDP的度数都为45°，于是猜想：∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化，下面进行证明：如图6所示，连接BC，∵AB是直径∴∠ACB

5、＝90°，又∵PC是⊙O的切线∴∠1＝∠A，而∠2＝∠3，∠4＝∠1＋∠2，∠CDP＝∠A＋∠3∴∠CDP＝∠4＝（180°－90°）÷2＝45°评析：以动手为基础的手脑结合的研究形式是最基本的，也是最重要的科学研究形式，上述题目完全模拟了这一科学形式，都以动手作图，测度线段成角度的大小为猜想的依据，突出了几何实验能力和数学结论的形成过程的考察，实践性强，是典型的数学实验题，解答时，需认真作图测量，大胆猜想。三．探索线段的长短例3：如图7，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G，（1

6、）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。分析与解：（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？一下子还看不出来，但它向我们暗示信息：可以从观察不变量入手，经观察图形可知，半径OP是长度保持不变的线段。综合已知条件：G是△POH的重心，于是延长HG交OP于E，又因为△OPH是直角三角形，故有：GH＝2/3HE＝2/

7、3×1/2OP＝2，故线段GH是保持长度不变的线段，且GH＝2。（2）延长PG交OH于F，易知F是OH的中点，且GP＝2/3PF，由勾股定理知：OH＝，所以，FH=1/2OH＝1/2，y＝GP＝2/3PF＝2/3（3）△PGH是等腰三角形，要分三种情况加以分类讨论：(Ⅰ)当GP＝PH，即＝x，解得：x＝　　（负的舍去）(Ⅱ)当GP＝GH，即＝2，解得：x＝0（不合题意舍去）(Ⅲ)当PH＝GH，即x＝2，　　符合题意综上：当x＝2或x＝时，△PGH是等腰三角形。四．探索图形之间的位置关系例4：如图8，一个以AB为直径的半圆，过AB上任一点C作CD⊥

8、AB交⊙O于D，图形DCB的内切⊙P和CD，半圆O和直径AB分别切于E、F、G，（1）判别A、E、F之点的位置关系，并证明你的结论；（2