在中国数学史上,广泛流传着一个韩信点兵.doc

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1、在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：   韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。   这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余

2、定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。   最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：  “今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”   用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：     

3、                                      用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道：                        《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组                        的一般解：                其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：                “三人同行七十（７０）稀，   

4、               五树梅花二一（２１）枝。                  七子团圆正半月（１５），                  除百零五（１０５）便得知。”　   《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》（见图１一７一１）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般

5、程序。    秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字７０、２１、１５中找到如下的规律：　                                               　图1-7-1文澜阁四库全书本《数书九章》书影　                           其中70是5和7的倍数，但被3除余1；

6、21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。   从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，

7、在１９世纪中期开始受到西方数学界的重视。１８５２年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；１８７６年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方１９世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。