3.3韩信点兵与中国剩余定理

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1、趣题——找次品:1)有5个外形相同的乒乓球,其中只有1个重量不标准的次品乒乓球。现再给你一个标准球;请用一架不带砝码的天平,最多两次使用该天平,找出上述次品乒乓球。1趣题——找次品:2)有12个外形相同的乒乓球,其中只有1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平,最多三次使用该天平,找出上述次品乒乓球,并判断它是重于标准球,还是轻于标准球。2第三章若干数学典故中的 数学文化第三节 韩信点兵与中国剩余定理3一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目1.“韩信点兵”的故事韩信阅兵时,让一队士兵5人一行排队从他面前走过,他记下

2、最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(5人);再让这队士兵7人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(4人),再让这队士兵11人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(10人)。然后韩信就凭这些数,可以求得这队士兵的总人数。4这里面有什么秘密呢?韩信好像非常重视作除法时的余数5《孙子算经》62.《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目:今有物不知其数,三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2,问物几何?7这里面又有什么秘密呢?题目给

3、出的条件,也仅仅是作除法时的余数8二.问题的解答1.从另一个问题入手问题:今有物不知其数,二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4,六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7,九九数之剩8,问物几何?91)筛法1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…(用2除余1)5,11,17,23,…(用3除余2)11,23,…(用4除余3)10再从中挑“用5除余4”的数,…一直筛选下去,舍得下功夫,就一定可得结果。并且看起来,解,还不是唯一的;可能有无穷多个解。11化繁为简的思想当问题中有很多类似的条

4、件时,我们先只看其中两三个条件,这就是化繁为简。一个复杂的问题,如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质,那么简化就“不失一般性”。学会“简化问题”与学会“推广问题”一样,是一种重要的数学能力。寻找规律的思想把我们的解题方法总结为筛法,是重要的进步,是质的飞跃:——找到规律了。筛法是一般性方法,还可以用来解决其他类似的问题。122)公倍数法①化繁为简我们还是先看只有前两个条件的简化题目。1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…(用2除余1)5,11,17,23,…(用3除余2)上述筛选过程的第一步,

5、得到:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。13所谓“带余除法”,是指整数的如下“除法”:被除数,除数,必唯一存在“商”和“余”,使14当余时,则,称为“整除”,或“整除”,这是通常除法“”的另一种表达形式。所以,带余除法是通常除法的推广。15回到求“用2除余1的数”的问题。设这样的数为,则。这里是被除数,2是除数,是商,1是余,且。16这就是“带余除法”的式子。当取时,用上式求得的正好组成上述数列1,3,5,7,9,

6、11,13,15,17,19,21,23,25,…17接着从中筛选出“用3除余2”的数,就是挑出符合下面“带余除法”表达式的数,这里可取0,1,2,3,4,…再继续做下去……18如果我们不分上面两步,而是一上来就综合考虑两者,则就是要解联立方程组19那么,为了解这个方程组,除了刚才的筛法外,还有没有更加巧妙的解法?我们考察上边两个方程的特点,发现,两个“带余除法”的式子,都是“余数比除数少1”。于是想到,如果把被除数再加1,不是余数就为0了吗?换句话说,不是就出现整除的情况了吗?20于是把上边每个方程两边都加上1,成为这说明,既是

7、2的倍数,又是3的倍数,因此,它是2与3的公倍数。由此想到21对整个问题寻找规律问题:今有物不知其数,二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4,六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7,九九数之剩8,问物几何?22②寻找规律设问题中,需要求的数是,则被2,3,4,5,6,7,8,9去除,所得的余数都是比除数少1,于是我们把被除数再加1,则就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除。也就是说,是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数,从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。23即这就是原问题的全部解

8、,有无穷多个解,其中第一个解是2519;我们只取正数解,因为“物体的个数”总是正整数。24[思]:①求“用2除余1,3除余2,…用m除余m-1”的数。②求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数。(a,b,c是任意大于1的自然数)③求

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