第三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理

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1、第三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理1韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。一、“韩信点兵”的故事与《孙子算经》中的题目2相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数

2、。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。他还不放心，决定自己亲自算一下。1.“韩信点兵”的故事3韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。

3、然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。思考题：这里面有什么秘密呢？韩信好像非常重视作除法时的余数。“数的除法运算以及余数”是小学数学的内容。现在，每个学生都具有这样的基础，但能否会运用就有差别了，你能够分析它吗？4约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。2.《孙子算经》书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼

4、子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？《孙子算经》5我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？《孙子算经》中的题目这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数。6问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？二、问题的解答1．先从另一个问题入手思考：此问题是否比原问题简单些吗？7再从中挑“用5除余4”的数，…一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。并且看起来，解，

5、还不是唯一的；可能有无穷多个解。1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,…（用2除余1）5,11,17,23,…（用3除余2）11,23,…（用4除余3）1）筛法思考一下：解题的思路是什么？8当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。化繁为简的思想寻找规律的思想把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃——找到规律了。筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。9①化繁为简我们还

6、是先看只有前两个条件的简化题目。1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…（用2除余1）5,11,17,23,…（用3除余2）上述筛选过程的第一步，得到:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。2)公倍数法10对任意给定被除数a，不为零的除数b，必唯一存在商q和余数r，使所谓“带余除法”，是指整数的如下“除法”：当余数r=0时，则a=bq，称为“a被b整除”，或“b整除a”，这是通常除法“”的另一种表达形式。所以，带余除法是通常除法的推广。11就是“

7、带余除法”的式子.当取时，用上式求得的x正好组成上述数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…设这样的数为x，则。这里x是被除数，2是除数，是商，1是余数，且。回到求“用2除余1的数”的问题。12接着从中筛选出“用3除余2”的数，就是挑出符合下面“带余除法”表达式的数，这里可取0，1，2，3，4，…再继续做下去……..如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者，则就是要解联立方程组13那么，为了解