2012高中数学 1.3.3 函数的最值与导数（2）课件 新人教A版选修2-2.ppt

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能取得，函数的必在或取得．但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)有最大值与最小值．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：(1)求f(x)在开区间(a，b)内的；(2)计算函数f(x)在各和处的函数值f(a)，f(b)比较，其中的一个为最大值，的一个为最小值．最值极值点不一定极值极值点端点最大最小最大值与最小值区间端点[例1]已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，

2、求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[分析]由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a；②在a确定的情况下，求切线方程；③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值．解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.[点评]参数对最值的影响由于参数的

3、取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．参数的分类标准可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．常见结论(1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间.已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(1)求f(x)的单调递减区间．(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．[解析](1)f′(x)＝－3x

4、2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)，令f′(x)<0，则－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．变式1(2)令f′(x)＝0，∵x∈[－2,2]，∴x＝－1.当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，即f(x)min＝f(－1)＝a－5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.∵a＋22＞a＋2，∴f(x

5、)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.此时f(x)min＝a－5＝－7.[例2]已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．[分析]由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29；②根据最大值、最小值确定a，b的值．解答本题可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值．[解析]存在．显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)

6、．(1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)b所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)>f(2)，所以当x＝2时，f(x)取最小值，即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.(2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，所以a＝－2

7、.综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)b[点评]已知函数的最值求解待定系数的取值或参数的取值范围是函数最值应用的常见题型之一，由于参数会对函数的最值的取到点有影响，所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a