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1、第二章静电场习题解答根据前面的内容讨论知道:在所考虑区域内没有自由电荷分布时,可用Laplace'sequation求解场分布;在所考虑的区域内有自由电荷分布时,且用Poisson‘sequation求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或多个点电荷,区域边界是导体或介质界面,这类问题又如何求解场分布?这就是本节主要研究的一个问题。解决这类问题的一种特殊方法称为—镜象法。1、镜象法的基础问题在点电荷附近有导体或介质存在时,空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。在所求的场空间
2、中,导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域(导体或介质内部)某个或多个假想的电荷来代替呢?光学理论给我们的启发,看过哈哈镜的人会有这样的印象:平面镜内的象与物大小一样,凸面镜内的象比物小,凹面镜内的象比物大。当我们把点电荷作为物,把导体或介质界面作为面镜,那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象然后把物和象在场点处的贡献迭加起来,就是我们讨论的结果。镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方,用实际上不存在的“象电荷”来代替真实的导体感应电荷或
3、介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候,必须保证原有的场方程、边界条件不变,而象电荷的大小以及所外的位置由Poisson'sequationorLaplace'sequation和边界条件决定。2、镜象法的理论基础这里要注意几点:a)唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson'sequationorLaplace'sequation。因此,在所研究的场域内不可放置象的电荷,也就是说,象电荷必须放在研究的场域外。c)象电荷是虚构的,它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效
4、作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等,不过在某些问题中,它们却恰好相等。b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用,因此放置象电荷后,就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。d)镜象法所适应的范围是:①场区域的电荷是点电荷,无限长带电直线;②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面(球面、柱面、平面)。用镜象法解题大致可按以下步骤进行:a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件;b)根据给定
5、的边界条件计算象电荷的电量和所在位置;c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式;d)根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。3、镜象法的具体应用[例1]接地无限大平面导体板附近有一点电荷,ySoaQx(1)界面为平面的情况下面按界面形状的不同分类举例讨论:求空间中的势分布。其电量为Q,距板a处,应电荷,右半空间的电势必须满足以下条件:Solution:根据静电屏蔽可判定接地导体板左半空间没有电场。右半空间的电场是Q及S面上的感应电荷面密度共同产生的。以假想的点电荷Q'等效地代替感为了满足方程(
6、1),假想的电荷Q'必须在左半空间内,这样才能使原方程不变,由(2)、(3)可求出Q'的位置及大小,等效图为θabr'ryxRP(x,y,z)Q(a,0,0)Q'(-b,0,0)因此,在右半空间任一点的电势为:这里因为:故有:由(3)式得到,要使该式成立,只有故得到(2)界面为球面的情况[例3]有一半径为Ro的接地导体球,距球心为a(a>Ro)处有一点电荷Q,求空间的电势分布。aQRoSolution:取球心为坐标原点,球心到点电荷Q的方向为x轴,设Q的坐标为(a,0,0)。根据静电平衡条件。球内的电势
7、为零。故只讨论外空间的电势即可。球外空间的电势由Q及球面上感应电荷共同激发的,其电势所满足的定解条件为:用一个象电荷Q'来代替球面上的感应电荷,为了不改变原方程,Q'必须在球内,并距球心为b,故等效为:球外空间一点的电势为RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ在b
8、项得到将(6)式代入(5)式得由(4)式得解此二次方程,得到将此代入(6)式,即有分析这里解的形式,可知b=a不符合物理要求,由于此时Q‘在球外空间,改变了原方程,故b=a及Q’=±Q应该舍去。又由于(2)式的要求,不符合要求。至此取下面的值才是符合要求的解。因此,球外空间任一点的电势为(3)界面为劈形的情况有两个相交的接地导体平面,其夹角为,若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷,求下列情况下所夹区域内的电势:QSolution:从上面的例子
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