数列中恒成立问题.doc

《数列中恒成立问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数列中的恒成立问题一、典例剖析例1．已知数列的前n项和为，．定义：若存在实数，使得对任意的正整数n，均有，则称数列为“Z—数列”．（1）若，试判断数列是否为“Z—数列”？请说明理由；（2）试证明：存在公差不等于零的等差数列为“Z—数列”．分析：（1）结论是否定的，这是因为我们从函数角度看的数量级为，而的数量级为，因此，不存在实数满足题设条件的．（2）存在公差不等于零的等差数列使得对任意的正整数n，均有，问题等价于关于n的方程有无穷多解，因此，我们可以通过建立关于n的恒等式来解决问题．解：（1）数列不是“Z—数列”，假设是“Z—数列”当时，当时，∴，，即∴数

2、列不是“Z—数列”．（2）设数列的公差为，则，由，∴∴对任意恒成立∴综上，对于等差数列，存在，使得为“Z—数列”．点评：解决数列中的等式恒成立问题，我们可以由结论合理的选择方法．如果结论是否定的，“特殊→特殊”；如果结论是肯定的，“一般→一般”、“特殊→一般”．例2．已知数列的前n项和为，满足且对任意的正整数，总有．(1)若，证明：是等比数列；(2)若数列是等比数列，求的值．分析：（1）我们可以通过“退位相减”（或者“进位相减”）来得到的递推关系式，将看作整体，进而转化为的递推关系式解决问题．（2）与例1作对比，本题同样是关于n的方程有无穷多解，区别是如果

3、仿照例1建立恒等式，将会得到“超越”恒等式．因此，可以考虑“特殊→一般”的解题策略．解：（1）当时，∴令，则当时，∴对任意的，，不然，这与矛盾∴，即数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）设数列的公比为，当时，①当时，②当时，③②-①得④，③-②得⑤由④⑤知，，不然，这与是等比数列不符∴当时，任意的正整数恒成立综上所述，．点评：1.解决数列中的等式恒成立问题可以函数视角选择合理的解题策略，做到“心中有答案，答题有章法”；2.解题过程中关注细节：初始条件的验证，的说明等．例3．已知数列各项均为正数，，且对恒成立，记数列的前项和为．（1）证明：数列为等比数

4、列；（2）若存在正实数，使得数列为等比数列，求．分析：（1）观察题设条件中的递推关系式下标的特点，可以转化为，因此数列的奇数项和偶数项均为等比数列，由此与的关系就呈现出来了．（2）根据（1）的提示作用，可以通过将数列中相邻两项“捆绑”起来，得到一个“等比数列”求得，而数列为等比数列，可以转化为等式恒成立进行处理．证明：（1）由对恒成立，所以，所以，又数列各项均为正数知，所以当时，，即数列是以3为首项，为公比的等比数列．解：（2）由（1）同理可知所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以．若，，不合题意所以，由为等比数列，故有①又，所以②由①②知此时，即，又

5、（也成立）所以，对恒成立，即满足题设．点评：1.上述解题过程可以进一步优化，受第（1）问得“启发”我们试图通过“捆绑”来求得，从而建立恒等式解决问题，因此产生了的讨论．在解题计划实施过程中，由于恒等式的演算过于繁杂，及时调整为“特殊→一般”的策略；2.华罗庚老先生指出“复杂的问题要善于退，退到最简单、最原始的地方，这往往是解决问题的诀窍”，上述解题过程揭示正是这样的道理．二、课堂小结1．处理数列中的等式恒成立常用策略：“特殊→特殊”、“特殊→一般”、“一般→一般”；2．解题策略的选择依据：＊答案是肯定还是否定？＊恒等式是否“超越”？＊数据处理是否合理？三、

6、课后练习1．已知数列满足，其中为非零常数．(1)若，证明：为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若数列是公差不为零的等差数列，求实数λ，μ的值．解：（1）当时，∴，又，不然，这与矛盾∴为2为首项，3为公比的等比数列，∴（2）①设数列是公差为d，由∴对任意的恒成立∴．2．已知数列为等差数列，数列为等比数列．（1）若，且是各项均为整数的等比数列的前3项，求数列，的通项；（2）若，且对任意的,总有，求数列，的通项．解：（1）设则，由与均为正整数知，，解得或所以或；，解得综上所述，或或。（2）①当时，，令，则（为常数）即对恒成立，故．又．