（把握高考）2013高三数学 经典例题精解分析 2-4-2 抛物线的简单几何性质.doc

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1、2.4.2抛物线的简单几何性质双基达标限时20分钟21．经过抛物线y＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()．A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0211解析设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y＝2x的焦点F(，0)，所以3×－2×022＋c＝0，3所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.2答案A22．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()．A．213B．215C．217D．219解析不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2

2、)，其中x1>x2.由直线AB斜率为－2，22且过点(1，0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y＝8x得4(x－1)＝8x，2整理得x－4x＋1＝0，解得x1＝2＋3，x2＝2－3，代入直线AB方程得y1＝－2－23，y2＝23－2.故A(2＋3，－2－23)，B(2－3，23－2)．22

3、AB

4、＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝215.答案B23．已知抛物线y＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()．A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2pp解析抛物线的焦点为F(，0

5、)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y22p22p222＋，代入y＝2px得y＝2p(y＋)＝2py＋p，即y－2py－p＝0，由根与系数的关系得22y1＋y22＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y＝4x，准线方程为x2＝－1.答案B4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．2∴所求抛物线方程为x＝±16y.2答案x＝±16y2→→5．已知O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点

6、A的坐标是________．2y0解析∵抛物线的焦点为F(1，0)，设A(，y0)，422→y0→y0则OA＝(，y0)，AF＝(1－，－y0)，44→→由OA·AF＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．答案(1，2)或(1，－2)6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；22(2)顶点是双曲线16x－9y＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．pp解(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因2222此，所求抛物线的标准方程为y＝±16x或x＝±16y

7、.2222xy(2)双曲线方程16x－9y＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3，91620)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y＝2px(p>0)，p2可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y＝12x.2综合提高（限时25分钟）27．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若

8、FA

9、＝2

10、FB

11、，则k＝()．12222A.B.C.D.3333解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，y＝k（x＋2），2222由得kx＋(4k－

12、8)x＋4k＝0，2y＝8x，∴x1x2＝4，①p∵

13、FA

14、＝x1＋＝x1＋2，2p

15、FB

16、＝x2＋＝x2＋2，且

17、FA

18、＝2

19、FB

20、，2∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，22∴B(1，22)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.3答案D28．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于()．A．45°B．60°C．90°D．120°解析如图，由抛物线的定义，得

21、MF

22、＝

23、MM1

24、，

25、NF

26、＝

27、NN1

28、.∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.设准线l与x轴的交点为F1，

29、∵MM1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1，∠NN1F＝∠N1FF1.而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°.答案C9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是________．31313±，±，－解析该等边三角形的高为.因而A点坐标为22或22.可设抛物线方22323程为y＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y＝±x.1262