现代控制理论基础课件2线性定常系统李式定理示例.doc

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1、线性定常系统李式定理示例例9.51：设二阶系统的状态方程为很明显，原点是一个平衡状态。试确定这个状态的稳定性。解：设假定的李雅谱诺夫函数为式中P由下式确定即这里。将矩阵方程展开，可得联立方程组可得验算P的正定性，计算P的各阶主子行列式值，因为P是正定的，因此在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。而李雅谱诺夫函数为：和例9.52：判断系统的稳定性。解：选，根据式（9.145）有如下联立方程组由此解得验算P的正定性，计算P的各阶主子行列式值，矩阵P是非正定，所以系统不是渐进稳定的。例9.53：确定图9.30中所示系统增益K的稳定范围。Y(s)U(s)图9.30系统图解：系统的状态方程为(9.14

2、7)在确定k的稳定范围时，假设输入u为零。于是方程(9.147)可写为可以看出原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为：(9.148)由于除原点外不恒等于零，因此可以选择Q具有如上形式。注意到，取恒等于零，这就意味着x3也恒等于零。如果x3恒等于零，那么x1也必恒等于零。如果x1恒等于零，那么x2也恒等于零。于是只是在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由方程（9.148）所确定的矩阵Q。即，解：为了使P为正定的矩阵，其充要条件为12-2k>0和k>0即0

3、接法分析这个系统的稳定性。解：在古典控制系统理论中，该系统是结构不稳定的。现在用李雅谱诺夫直接法分析，该系统的状态方程为：即取李雅谱诺夫函数为（正定的）那么根据李雅谱诺夫稳定性定理，为了保证系统的渐近稳定性，必须是负定的。即式中k为正常数。上式表明：必须使u（t）变化与x2的变化方向相反，才能使系统保持渐近稳定。如果同时存在一个外部输入信号r（t），则可取：为输入信号，即可保持系统的渐近稳定性。由于，所以这实质上是一种速度反馈的补偿方式。