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时间:2020-06-05
《现代控制理论基础课件2线性定常系统李式定理示例.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性定常系统李式定理示例例9.51:设二阶系统的状态方程为很明显,原点是一个平衡状态。试确定这个状态的稳定性。解:设假定的李雅谱诺夫函数为式中P由下式确定即这里。将矩阵方程展开,可得联立方程组可得验算P的正定性,计算P的各阶主子行列式值,因为P是正定的,因此在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。而李雅谱诺夫函数为:和例9.52:判断系统的稳定性。解:选,根据式(9.145)有如下联立方程组由此解得验算P的正定性,计算P的各阶主子行列式值,矩阵P是非正定,所以系统不是渐进稳定的。例9.53:确定图9.30中所示系统增益K的稳定范围。Y(s)U(s)图9.30系统图解:系统的状态方程为(9.14
2、7)在确定k的稳定范围时,假设输入u为零。于是方程(9.147)可写为可以看出原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为:(9.148)由于除原点外不恒等于零,因此可以选择Q具有如上形式。注意到,取恒等于零,这就意味着x3也恒等于零。如果x3恒等于零,那么x1也必恒等于零。如果x1恒等于零,那么x2也恒等于零。于是只是在原点处才恒等于零。因此,为了分析稳定性,可采用由方程(9.148)所确定的矩阵Q。即,解:为了使P为正定的矩阵,其充要条件为12-2k>0和k>0即03、接法分析这个系统的稳定性。解:在古典控制系统理论中,该系统是结构不稳定的。现在用李雅谱诺夫直接法分析,该系统的状态方程为:即取李雅谱诺夫函数为(正定的)那么根据李雅谱诺夫稳定性定理,为了保证系统的渐近稳定性,必须是负定的。即式中k为正常数。上式表明:必须使u(t)变化与x2的变化方向相反,才能使系统保持渐近稳定。如果同时存在一个外部输入信号r(t),则可取:为输入信号,即可保持系统的渐近稳定性。由于,所以这实质上是一种速度反馈的补偿方式。
3、接法分析这个系统的稳定性。解:在古典控制系统理论中,该系统是结构不稳定的。现在用李雅谱诺夫直接法分析,该系统的状态方程为:即取李雅谱诺夫函数为(正定的)那么根据李雅谱诺夫稳定性定理,为了保证系统的渐近稳定性,必须是负定的。即式中k为正常数。上式表明:必须使u(t)变化与x2的变化方向相反,才能使系统保持渐近稳定。如果同时存在一个外部输入信号r(t),则可取:为输入信号,即可保持系统的渐近稳定性。由于,所以这实质上是一种速度反馈的补偿方式。
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