正弦定理推证中的三个副产.doc

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1、“正弦定理”推证中的三个“副产品”随县一中赵波现行高中教材中证明正弦定理时用的是向量方法，但未给出等于的证明.笔者在教学中对正弦定理“等于”推导的探究中，利用常用的三角形外接圆方法来推导.在完成了任务的同时还得到了几个非常优美的“副产品”.如图1，在中，而.（同理可得其他两式，从而正弦定理得证.只要稍稍注意一下，上述证明中只用到了边，而与它相随相伴的另一条边却未受人注意.事实上对边的探究，可以得到许多不错的结论.结论1在中，证：由图1易得，同理得，，而，在中，，所以同理可得将以上的三式相加，并整理得当时锐角三角形是，在图1宗若连结并延长分别交圆于，再连结（如图2

2、），则，，而.在四边形中，显然有，即；另一方面，六边形的周长小于圆的周长，即，即于是有下面的结论2成立.结论2在中，当为钝角三角形或直角三角形，可仿上法证得.在图1的中，由余弦定理得而,即，适当边形，即可得到下面的结论3.结论3在中，注：①本题是《数学通报》1996年第4期4月号数学问题1001题，原题给出的解答较繁.一些资料上也有其他解法，但都没有此证法直观、明了；.②从结论3的形式上看，类似余弦定理得结构，上述证法实质上是一种构造法证明.看来，我们的解决某些问题时，除了完成规定的探究任务，解决要求的问题的同时，不要忽视了“副产品”.有时“副产品”可能更有价值

3、，或许创新和发明也就在其中。