有趣的一笔画问题.doc

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1、有趣的一笔画问题一笔画问题的提出：一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次，而经过每个城市的次数不限。这就是拓扑学中的数学问题。一笔画的含义如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。下面的画能一笔画成，你也试着描一描，画一画吧！那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？那我们就要一起学习一笔画的规律。其实一笔画是一个几何问题，一个图形由一笔

2、构成叫一笔画。传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状和线段的长短等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。一笔画问题第17页共17页一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可

3、以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。(在日本动画片一休中，是采用对折纸张的方法画出‘田’和‘目’的一笔画）也是可取之处。一笔画图形的规律和判别：著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。数学家欧拉找到一笔画的规律是：1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任

4、一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。3．其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。一笔画问题第17页共17页◎奇顶点：指数为奇数的顶

5、点。◎偶顶点：指数为偶数的顶点七桥问题与欧拉定理：这是一段与数学有关的故事。在十八世纪的时候，普鲁士的哥尼斯堡有一个公园，公园里有一条河勒格尔河穿过，河有两条支流，河上有两个小岛，将整个城市分割成四块，当地的人为了交通方便，就建了七座桥作连接把两个岛与河岸联系起来(见下图)。当地的市民经常从事一项非常有趣的消遣活动。就是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。（一个人能否一次走遍所有的七座桥，而每座桥只通过一次？）这就是著名的「七桥问题」。很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，哥尼斯堡的居民苦思多

6、时，在相当长的时间里，无法解决这条问题。一笔画问题第17页共17页利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有7×6×5×4×3×2×1=5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。1735年，哥尼斯堡的几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样

7、的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地和小岛看成a、b、c、d4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。证明图二能否一笔画及怎么画的问题即可解决哥尼斯堡城七桥问题。1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新历程。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。对于一个连通

8、图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。一笔画问题探讨：先说明几个定义：奇结点：有奇数（单数）条边的点称为奇结点