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1、数学竞赛专项练习120823满分300分得分一.2010填空题：(每小题6分,共60分)1.用区间表示函数的定义域为__________________.2.在中,若,则_________________.3.在数列中,已知,,则使成立的最小正整数的值为_____________.4.已知是定义在上的奇函数,对任意均有,且时,PAOBCD,则________________.5.如图,在四棱锥中,底面为正方形,为等边三角形,为边中点,且平面,则二面角的余弦值为_____________.6.已知集合,其中,,且.若正整
2、数,且,,则符合条件的正整数有_____________个.7.函数的最小值_________________.8.将方程的实数解从小到大排列得则的值为____________.(表示不超过的最大整数)9.若正整数使得对任意一组满足的正数都有成立,则正整数的最小值为_________.120823第6页（共6页）10.如图,记从“田字型”网格(由4个边长为1的正方形构成)的9个交点中任取3个点构成的三角形面积为(当所取的三点共线时,=0),则的数学期望E=____.二.2010解答题：(每小题20分,满分60分)11.
3、当实数为何值时,关于的方程无解、一解、两解？12.已知函数,试求在区间上的最大值.13.如图,在锐角中,,的平分线交于点,过的外心作的垂线交于点,过点作的平行线交于点.(1)求证：四点共圆；(2)求证：三点共线；(3)求证：.120823第6页（共6页）三、2009填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量，，.若、、分别是锐角中角、、的对边，且满足，，，则的面积.2．设，变量满足，且的最小值为，则_______.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和
4、数为48和51，则这5个数中最大的数等于.4．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，与所成角的正弦值是.5．若定义在上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为.6．平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点，直线与线段分别交于点，且平分△的面积，则的最小值为.7．若对于任意的实数，函数的值都是非负实数，则实数的最大值为.8．集合的元素和为奇数的非空子集的个数为.9．方程的实数解是.（其中表示不超过的最大整数）1
5、0．满足，，且的有序整数组的个数为.四、2009解答题（每小题20分，满分60分）120823第6页（共6页）11．已知，方程有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍.等差数列与的前项和分别为与，且（，2，3，…）.（1）设（，2，3，…），求的最大值；（2）若，数列的公差为3，探究在数列与中是否存在相等的项.若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式；若没有，请说明理由.13．如图，与线段相切于点，与以为直径的半圆相切于点.于点，与以为直径的半圆交于点，且与相切于点，连接、CM.求证：（1）、、三点共线；（
6、2）；（3）.15．已知正实数a、b、c满足.求证：120823第6页（共6页）（1）；（2）.五、平面几何（每小题20分，满分60分）ACBOIHPQA1B1第15题 图200715．如图，在锐角三角形ABC中，，是两条角平分线，I，O，H分别是的内心，外心，垂心，连接HO，分别交AC，BC于点P，Q．已知C，，I，四点共圆．（1）求证：；（2）求证：．120823第6页（共6页）200513、如图，已知三角形ABC的内心为I，AC≠BC，内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，，连结CD与内切圆的另一个交
7、点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证：（1）∽；（2）120823第6页（共6页）
