高考数学二轮复习 专题一 专题整合突破 第2讲 不等式及线性规划 讲义.doc

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1、第2讲　不等式及线性规划高考定位　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高．真题感悟1．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必

2、要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.答案　B2．(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)A．0B．1C.D．2解析　可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点A(0，1)时，z取得最大值2.答案　D3．(2015·陕西卷)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式

3、中正确的是(　　)A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q解析　∵0＜a＜b，∴＞，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f＞f()，即q＞p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p.故p＝r＜q.选C.答案　C4．(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为________．解析　约束条件的可行域如图，由＝，则最大值为3.答案　3考点整合1．解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在

4、转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．2．利用基本不等式求最值已知x，y∈R＋，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2(x＋y≥2＝2)．3．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，

5、可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．4．不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧．其中，比较法是应用最为广泛的证明方法，在导数、解含参不等式、数列等知识点都有渗透.热点一　利用基本不等式求最值[微题型1]　基本不等式的简单应用【例1－1】(2015·菏泽模拟)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x

6、，y的值分别为(　　)A．5，5B．10，C．10，5D．10，10解析　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2＋5，即xy－4－5≥0，可求xy≥25.当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝.答案　B探究提高　在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取到，有时也需进行常值代换．[微题型2]　带有约束条件的基本不等式问题【例1－2】(2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)A．16B．18C．25D.解析　令f′(x)＝(m

7、－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，当m＞2时，对称轴x0＝－，由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－≤，即2n＋m≤18，∵≤≤9，∴mn≤，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.答案　B探究提高　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现

8、错误．【训练1】(1)(2015·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是(　　)A．3B．5C．7D．8(2)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为(　　)A．1B.C．2D.解析　(1)由x＋y＋1＝xy，得y＝，又y＞0，x＞0，∴x＞