下料问题及求解方法.doc

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1、下料问题及求解方法RobeitW.HaesslerandPaulE.Sweeney密歇根大学工商管理学院，美国密歇根州安阿伯街道摘要：本文讨论了解决一维和二维下料问题的一些基本规划问题和解决方案的程序。文中描述了线性规划法、顺序启发式算法和混合方案的求解程序。对于二维矩形下料问题，我们也提出了在给定规格及限定时间情况下的大范围问题的求解方法和模式。关键词：下料，修整损失，线性规划，启发式问题解决，模式生成，二维背包问题引言第一个下料问题的著名模型是前苏联经济学家Kantorovich（I960）于1939年提出的。1961和1963年，Gilmore和Gomory的开创性工作成为求解下

2、料问题最重要的进步，他们提出了利用延迟模式生成技术和线性规划方法求解一维的材料切割损失最小化的问题。此后，越来越多的学者投入到这个研究领域中。1991年，Sweeney和Patemostei•己经确定了有超500多的文献研究下料和与之相关的问题及其实际应用。下料问题之所以激起了许多研究者的兴趣，其中一个重要原因是它广泛存在于各行各业，寻找到更有效的解决方案对经济具有很大的促进作用，而且也容易比较出各解决方案的优劣和确定更优的求解方案，这是下料问题被广泛硏究的主要原因。根据大量的理论及实际应用研究文献，1990年Dyckhoff将切割和包装问题（包装问题与切割下料问题密切相关，但这里不考

3、虑）进行了分类。他把问题用以下四个特点來划分：1.维数（N）维度的数量2.任务的类型（B）所有的大型对象和选择小物品。（V）选择大的对象和所有的小物品。3.大对象的分类（O）一个大对象。（I）很多相同的大对象。（V）不同的大对象。4.小物品分类（F）不同维数的少量小物晶。（M）许多不同维数的许多小物吊。（R）相对较少维数的许多小物品。（C）许多相同的小物品。下料问题中一维下料问题是指从单一规格多段材料中切割出相对少规格的许多物品（根据Dyckhoffs分类表示为1/V/I/R）。二维下料问题在求解难度上要大于一维下料问题，因为确定可行的切割方式变得更加复杂。因此，二维问题的焦点是在切割

4、方式生成过程而不是在切割问题本身c本文在结论中将给出为生成切割方式需要解决二维下料问题2/V/I/R类型的一个可能的新方法的探讨。一维问题一个一维下料问题的一个例子是在造纸工业中切割损失最小化的问题。在这个问题中，从一些标准宽度和直径的原材料屮切出已知数量的相同直径不同宽度的货物。目的是确沱切割模式及满足在余料和其他可控因素尽可能低的总成本下的相关水平要求。这个问题中基本切割方式的可行性限制是从每一个原料上切割出的材料的宽度Z和不得超过原材料的有效宽度。Ri表示长度为Wi的订单需求量，原材料有效长度为UW。RLi和RUi分别表示订单需求的下界和上界，客户订单i反映允许在规定的范围内溢出

5、或欠载的一般工业实践。根据不同的情况，Ri可能等于RLi和(或)RUio所有的切割都是等直径的。这个问题可以归结为如下:Min’TN(1)Js.t.RL,s工心X’VRU,forall/,(2)JX’nOandinteger,(3)设&为第j种切割方式切出来长为&的坏料数量，元索&构成一种可行的切割方式，必须满足以下条件：叱VUW.(4)in0andinteger,(5)&为笫j种切割方式重复次数，&为第J种切割方式的余料，7；=UW—£力”粵.(6)注意，在这个例子小，目的仅仅是为了使余料最少。在大多数工业应用中，有必要考虑除余料外的其他因素。例如，有可能是一个成本与模式的变化有关，

6、因此，控制用于满足订单要求图案的数量将是一个重要的考虑因素。例如，切割方式改变，成本会相应的发生变化，因此控制用来满足目标坯料的切割方式的重复次数是很重要的考虑方案。因为只有当m的指小于通常在实践的值时才能得到整数下料问题的最优解，所以启发式算法是解决这类问题的唯一可行的方法。两种启发式方法已经广泛应用于求解一维下料问题。--种方法是使用基于线性规划(LP)的整数规划问题松弛为起始点的解决方案。这种方式给问题的整数解提供了修正值。第二种方法是生成切割方式继续满足一部分剩下的需求量。当所有需求坯料得到满足时这种顺序启发式算法(SHP)终止。线性规划算法几乎所有基于LP算法的下料问题的求解

7、都可以追溯到GilmoreandGomory(1961,1963)。他们描述了通过求解一个相关的背包问题来进入基础LP下一切割方式的方法。这使得没有首先列举所有可行切割方式的线性规划方法來求解余料最小化问题成为可能。这是非常重要的，因为当从长材料上切下小的坯料时会有大量的切割方式。Pierce(1964)表明，在这种情况下，一些切割方式的数量可以很容易地达到数以百万计。因为在寻找余料最小化问题的解决办法中，所有可能的切割方式中只需要考虑一小部分