数模论文——美赛选拔赛2.doc

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1、摘要一、问题重述与分析本问题是关于摄像头安装的问题。题目要求我们用最少的摄像头数量全面覆盖展馆。摄像头的安装是现在房屋设计经常遇到的问题，摄像头太少展馆的管理不能到位，太多又会造成浪费，而且影响展览的效果。这样就要求我们既要能够覆盖到所有的展览品，又要节省资源不影响展览效果。根据的问题的提出，摄像头的安装不仅要覆盖到展馆的所有区域，而且尽可能少的使用资源。我们对展区3000平方英尺的区域内部（包括边界）以间距h进行分区设点，这样展馆能否被完全观察到时主要的约束，即展馆的每个点至少被一个摄像头观测到，由于我们

2、假设摄像头均安装在墙面上，所以墙上某个点设置摄像头只有两种结果：装、不装。这样就可以用0与1标示，即0-1规划。二、基本假设1.摄像头均安装在墙面上。2.在监控期间所有摄像头都正常工作。3.摄像头安装在人平均视线稍高的位置，不会阻碍人们欣赏展品。4.三、符号说明：墙面上第i个点，沿展馆边缘从左下角以逆时针间距为h的各个点，是0－1变量（等于0时表示此处不安装摄像头；等于1时表示此处安装摄像头）。:代表在平面上的坐标bij：展区内第i行第j列的点。：展区内第bij个点到各个摄像头的距离。(是一个数组,):数组

3、里面的数,代表bij与之间的距离四、模型的建立4.1.问题一4.1.1问题背景：一个艺术画廊要求在展区内的几个不同地方提供视频监控。Thecameraresolutionisgoodupto25feetwhenstill,anduptoabout8feetwhenscanninghorizontally.此外,一个摄像机镜头能观察到的角度大约为50度。Mostmuseumstrytomaximizetheareaavailabletodisplaypaintingsandotherexhibits,soth

4、eirfloor-plansarequiteconvoluted,withseveralpanesstandinginthemiddleofaroomatoddangles,andcorridorsconnectingexhibitions.我们的任务是建立一个数学模型，并设计一个程序将用最少的摄影机来达到观察到全展区的目的。4.1.2对图形数据量化首先对展区图形进行分区设点，如图1bij图4.1.1边缘处以间距h取点每行以间距h取点yy。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

5、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。x每个点的坐标：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。一一对应每个决策变量x：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。图4.1.2如上图所示，我们定义各个点的表达方式，另外我们定义一个0-1决策变量。4.1.3.决策变量1在点处设置监控摄像头0在点处不设置监控摄像头4.1.4.　模型的建立一：确定摄像头安装的位子当摄像头安装完毕时，展区内的区域应被完全覆盖。现在做一个近似处理，当

6、展区内每一点被摄像头覆盖时，展区被摄像头完全覆盖。为了使每一个被摄像头覆盖。我们引进了变量，代表展区内第个点到各个摄像头的距离。若其小于等于25英尺，表示这个点能被安放在点的摄像头覆盖；若其大于25英尺，表示这个点不能被安放在点的摄像头覆盖。为了方便编程，我们对做处理：10同时这也作为我们一个约束变量来考虑。二：摄像头能覆盖到的区域有限一个固定的摄像头能覆盖到的角度是在50度以内的扇形（半径为25）区域，也就是说50度之外，我们就要安装下一个摄像头来确保展区内所有的区域都能被覆盖到，这就是第二个约束条件。三

7、：展区当中会存在一些障碍物阻隔掉摄像头的观察视线展区当中会存在一些障碍物，如隔板之类的，从而会阻隔掉我们所安装的摄像头的观察视线，导致有些展区内的地方不能被观察和覆盖到。对此，我们也有一个解决方案：若b和a之间有障碍，导致安放在a的摄像头不能覆盖b，那么令D（）=0在上述变量分析的基础上建立模型。目标函数为安装的摄像头数目最少，约束条件为:对于所有的展区都有大于至少等于一个摄像头能监控到。目标函数基于摄像头数目最少:约束条件：（1）根据问题的分析,用距离乘以0-1决策变量就得到了该展区能被多少个摄像头观察到

8、,再令结果大于等于0，就可以得出约束条件。约束条件为：（2）每个摄像头的角度要控制在50度以内。约束条件为：（）综上所述建模模型如下:目标函数:约束条件:1.2.3.=0,1　由于能力有限，对于摄像头角度（50度）问题不能用编程的方法，将其编成计算机能识别的语言，现在用一个折中的办法来解决这个问题：首先，目标函数不变，将约束条件1和约束条件3作为新的约束条件来求解，确定摄像头安放的位子，然后，通过画CAD图和程序