材料力学 第四版chap7-第十六讲

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1、主单元体：六个平面都是主平面若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:*§7-5三向应力状态本节只用图解法简单讨论三个主应力已知时任意斜截面上的应力情况。主应力：σ1>σ2>σ3l、m、n分别为ABC的法线n的三个方向余弦。三个圆周方程式因为l2，m2，n2>0，σ1>σ2>σ3，所以上式所确定的圆周在大圆之内，两个小圆之外。这三个圆的交点D即为斜面ABC上的应力在下图的阴影区域。单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示：特殊情况：这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应

2、力圆圆周上各点的坐标来表示。至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。主应力：σ1>σ2>σ3主切应力：最大切应力在三向应力状态情况下：τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示例7-5-1：求图示应力状态的主应力和最大剪应力。（应力单位为MPa）。解：例7-5-2.试作三向应力圆，并求已知：解:例7-5-3求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。解：§7.8广义胡克定律一．拉（压）胡克定律(单向拉伸或压缩时，线弹性范围内)σ=Eε或

3、横向变形(2-15式)纯剪切:剪切胡克定律（实验结果表明）或二．普遍情况：描述一点的应力状态需要9个应力分量，由切应力互等定理，9个分量中只有6个独立分量，这种普遍情况可以看作三组单向应力和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在小变形，线弹性范围内，线应变只与正应力有关而与切应力无关。切应变只与切应力有关，而与正应力无关。由于σx单独作用，在x方向引起的线应变为σx/E，由于σy和σz单独作用，在x方向引起的线应变则为-μσy/E和-μσz/E，三个切应力皆与x方向上的线应变无关，叠加以上结果可得：切应变和切应力之间仍为，与正应力分量无关。1、复杂状态

4、下的应力---应变关系依叠加原理,得:xyzszsytxysx当单元体三个平面皆为主平面时，分别为x,y,z方向的主应变，与主应力的方向一致，，三主平面内的切应变等于零。对平面应力状态(σz=0,)2.各向同性材料的体积应变体积应变：每单位体积的体积变化，用θ表示设单元体的三对平面均为主平面，其三个边长分别为dx,dy,dz,变形前体积：变形后体积：变形后三个棱边为:则体积应变为：.广义胡克定律代入上式得：即：任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比。在线弹性范围内，体积应变与平均应力成正比，此即为体积胡克定律。讨论（1）体积应变只与三个主应力

5、之和有关，而与主应力之间的比例无关。因此，对不同的单元体，只要三个主应力之和相等，则体积应变相等。（2）单元体的体积应变可用平均应力单元体来替代。例7-8-1已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。构件材料为Q235钢，弹性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。试求该点处的主应力数值，并求该点处另一主应变ε2的数值和方向。解：由题意可知，点处于平面应力状态且由广义胡克定律可得：是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。例7-8-2边长为0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计的刚性凹槽中。已

6、知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比ν＝0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。解：铜块横截面上的压应力为由题意：按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：§7-9复杂应力状态的应变能密度dzdxdy三向应力状态下弹性应变能与外力做功数值上相等。只决定于外力和变形的最终数值，与加力次序无关。可以选择一个便于计算应变能的加力次序，所得应变能与其他加力次序相同。dzdxdy1.空间应力状态的应变能密度将广义胡克定律代入上式：假定应力按比例同时从零增加到最终值，线弹性情况下每一主应力与相应主应变之间仍保持线性关系

7、，因而每一主应力相应的应变能密度仍可用上式计算：单元体三个棱边变形不同，它将由正方体变为长方体，因此，单元体的变形一方面表现为体积的增加和减小，另一方面表现为形状的改变即由正方体变为长方体，因此应变能密度也被认为由两部分组成：（1）体积改变能密度（υV）：体积变化而存储的应变能密度，指单元体棱边变化相等，变形后仍为正方体，只是体积变化，形状不变。（2）畸变能密度（υd）：体积不变，形状改变，由正方体改变为长方体二存储的应变能密度。2.体积改变能密度和畸变能密度应变能密度＝体积改变能密度（υV）+畸变能密度（υd）（a)（b)=+（c)体积改变能密度υV

8、畸变能密度υd（a）和（b）状态的主应力之和相等，故它们的体积应变相等，其也相等，所以只须把代