2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法.doc

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1、第50讲：轨迹方程的求法【考纲要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【知识要点】1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义（1）列式：用坐标表示条件,列出方程；（2）化简：化方程为最简形式；（3）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。3、求轨迹方程的四种主要方法（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程。（

2、3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参。例1线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程．16用心爱心专心　解：如图1，以中点为原点，直线为轴建立直角坐标系．　　设，易知．　　　　．　　整理得，故动点的轨迹方程为．例2已知圆：，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。解：设，由题得是直角三角形，且在直角三角形中，所以动点P的轨迹方程为它是以点为圆心，4为半径的圆。(Ⅰ)求动点P的轨迹方

3、程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。方法二待定系数法使用情景通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义。16用心爱心专心解题步骤（1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程。例3已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．　　解：设半径为的动圆圆心为，　　因为圆与圆，圆都外切，　　则，，．　　因此点的

4、轨迹是焦点为中心在的双曲线的左支．故所求轨迹方程为．例4在面积为1的中，．建立适当坐标系，求以为焦点且过的椭圆方程．　　解：如图2，以直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．　　设所求椭圆方程为，焦点为，　　由，，　　得直线，　　　　　①　　直线　　　　　　　②　　①，②联立，求得点．　　又，　　可得，则点．　　又，，16用心爱心专心　　则．　　又，故所求椭圆方程为．【点评】此题已知已经告诉是椭圆，所以直接利用待定系数法，先定式，后定量。【变式演练2】　在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程．　例5　已知抛物线和点，为抛物

5、线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．　　解：设点，，由，知点分所成的比为，则又点在抛物线上，则．整理得为所求轨迹方程．16用心爱心专心　例6已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上。【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答。【变式演练4】　已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．　　16用心爱心专心【解析】设，又知，则直线的方程为①由，知，所以。从而，因而为定值16

6、用心爱心专心[解析]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即解得，m>1,且m2设Q、R的坐标分别为，由有16用心爱心专心【反馈训练】1已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得

7、PQ

8、=

9、PF2

10、，那么动点Q的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线2设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()ABCD

11、3.如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点16用心爱心专心5△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________6高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________7已知

12、A、B、C是直线l上的三点，且

13、AB

14、=

15、BC

16、=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程8双曲线=1的实轴为A1A2，点