在变化中寻找不变.doc

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1、在变化中寻找不变作为最特殊的四边形—正方形，其特殊性质的应用一直是中考的重点内容．同时，由于正方形的特殊性，许多情况下当图形的位置发生变化时，存在着不变的结论．下面举几个2005年中考与正方形有关的动中不变的题型与大家共赏．一、运动中的面积不变性：例1．如图1，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是．图1ABCDEF解析：直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与C

2、B延长线交于点E．∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠∠BAF，即∠EAB=∠DAF在△EAB和△FAD中，所以四边形AECF的面积是正方形ABCD的面积．即4×4=16．点评：在此运动过程中四边形AECF的面积保持了不变．二、运动中的两线段关系的不变性：如图2，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)求证：OE=OF；(2)如图3，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=O

3、F”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．解析：由于AMBE，则说明AME=BME=90．MAE是Rt△AME和Rt△AOF的公共角，则另一锐角也相等，而OA=OB所以考虑证明Rt△BOE≌Rt△AOF．当点E在AC的延长线上时，也可这样考虑．图2【解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴BOE=AOF＝90．OB＝OA又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE∴MEA＝AFO∴Rt△BOE≌Rt△AOF图3∴OE=OF．(2)OE＝OF成立证明：∵四边形ABCD是正方形，

4、∴BOE=AOF＝90．OB＝OA又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE又∵MBF＝OBE∴F＝E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE=OF点评：此题反映了一点沿着正方形的对角线运动时，两线段的关系不变的性质．例3．如图4，图5，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．⑴如图4，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②

5、连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想．⑵如图5，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．图5图4解析：（1）经过测量和观察可以猜想出DE=EF，NE=BF再用三角形全等可证明猜想的结论．（2）以EB为基准，进行截取也可得到DE=EF【解】⑴①DE=EF；②NE=BF．③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EB

6、F=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF点评：此题反映了在“面”动的情况下两线段关系不变的性质．