将数学建模引入高等数学教学中典型案例

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1、将数学建模引入高等数学教学中典型案例　　摘要：首先阐述了将数学建模思想融入高等数学教学内容中的意义，接着从高等数学中的基本概念和基本定理出发，通过具体案例说明如何将数学建模案例融入在高等数学教学中。最后给出了根据高等数学内容选编的典型建模案例。Abstract：Firstly，thesignificanceofintegratingideasofmathematicalmodelingintothecontentofhighermathematicscourseisdiscussed.Thenstartingfromthebasicconceptandbas

2、ictheoremofhighermathematics，itthroughconcreteexampleshowshowtoblendmathematicalmodelingcaseinhighermathematicsteaching.Finally，typicalcasesaccordingtothecontentofhighermathematicsaregiven.关键词：数学建模；高等数学；微分方程；零点定理Keywords：mathematicalmodeling；highermathematics；differentialequation；z

3、eropointtheorem中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1006-4311（2014）03-0258-020引言6高等数学课程[1]是数学类主干课程的核心，长期以来，在高等数学的教学中，教材大部分内容讲解概念、定理、推论及公式，教学上一味强调数学的严密性和逻辑性、抽象性，让学生感到似乎数学离我们很远，甚至有学了也没有什么用的错误想法，而数学建模正是联系数学理论知识与实际应用问题的桥梁，反映数学知识在各个领域的广泛应用，所以我们教师在高等数学教学过程中要不断渗透数学建模思想。中国科学院院士李大潜曾提出“将数学建模的思想和方法融入大学数学类主干课

4、程教学中”[2]。合理安排数学建模案例是数学建模的思想与方法融入到高等数学中的具体实践[3，4]，譬如，减肥模型、销售模型、人口模型、传染病模型等，让学生带着较愉悦的心情实实在在体会到所学数学知识与日常生活与现代科学技术的密不可分性，使学生在分析实际数学建模案例过程中体会数学的乐趣与应用价值，以培养学生解决实际应用问题能力。因此，将数学建模案例融入在高等数学教学中有着十分重要的意义。究竟如何将数学建模与高等数学相融合呢？1在高等数学的概念引入中渗透数学建模思想6高等数学的概念一般都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型，本身这一过程就是数学

5、建模的过程，因此，我们在引入概念时，借助概念产生的来源背景和实际生活中的实际例子，对其抽象、概括、归纳求解自然而然引出概念，使学生实实在在感受到数学的作用，数学就在我们身边。案例1微分方程的概念问题引入：刑事侦察中死亡时间的鉴定问题提出：当一次谋杀发生后，尸体的温度从最初的37℃按照牛顿冷却定律（物体在空气中的冷却速度正比于物体温度与空气温度差）开始下降，假定两小时后尸体温度降为35℃，并且假设室温保持20℃不变。试求尸体温度H随时间t的变化规律。如果法医下午4：00到达现场测得尸体温度为30℃，试确定受害人的死亡时间。问题分析：牛顿冷却定律指出：物体在空气

6、中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定。模型建立：设尸体的温度为H（t）（t从谋杀死起），运用牛顿冷却定律得尸体温度变化速度■=-k（H-20），这就是物体冷切过程的数学模型。我们得到了含有温度H关于时间t的导数的方程，可以请学生观察这个方程与之前我们学习过的方程有什么异同呢？通过这个方程我们能解出关于H（t）的函数关系吗？如果能解出来，方程的解是什么呢？如何解呢？通过这个问题我们可以首先引入微分方程的概念：含有未知函数H及它的一阶导数■这样的方程，我们称为一阶微分方程。6模型求解：确定了H和时间t的关系，

7、我们需要从方程中解出H，如何求解该微分方程■=-k（H-20）呢？将方程改写成■dH=-kdt这样变量H和t就分离出来了，两边积分，得到？蘩■dH=？蘩-kdt，即ln（H-20）=-kt+lnC，H-20=Ce-kt。由初始条件：t=0，H=37；t=2，H=35；得37-20=Ce■35-20=Ce■解得C=17k=0.0626即H=20+17e■。当H=30；t≈8.48=8小时29分，谋杀时间大约为早上7点31分。通过方程的求解过程进一步引入可分离变量的一阶微分方程的定义及解法：如果一个一阶微分方程能写成g（y）dy=f（x）dx（或写成y′=φ（x

8、）ψ（y））的形式，即能把微分方程写成一端只含y的函