悖论及其意义.doc

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1、悖论及其意义悖论及具意义一、悖论的举例及具注鄴为了便于理解悖论的特征和意义，我们不妨先从实例讲起。由于悖论的起源和发展几乎与科学史同步，所以悖论已经丿力了几千年漫长的发展和演变过程，因而种类繁多，无法一一列举，下血仅举几个典型例子。1•说谎者悖论公元前六世纪，克里特人构造了这样一个语句，一•个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话，”试问这句话是真是假？这里给出这句活是真是假的逻辑论证：假设它是真的，即所有克里特人说的每一句话都是谎话，由于这何话正是克里特人所说，故根据此话的论断可推出这句话是假的。由此可见，由这句话的真

2、可推出它是假的。显然，这是一个逻辑孑盾。产生孑盾的原因是，命题的论断屮包含了前提。反之，假设这句话是假的，也就是说并非每一个克里特人的每一句话都是假话，从而既不能导致逻辑孑盾，也推不出它的真。此悖论的特征是，由它的真可以推出它的假，但反Z,由它的假却推不出它的真。现将此悖论略加修改，可以构造一个强化的说谎者悖论：“我说这句话时正在说谎”，试问这句话是真是假？下面给岀这句话真假性的逻辑论证。假设这句话是真的，即肯定了这句话的论断，但由此话的论断推出这旬话是假。反之，假设这句话是假，则应否定这句话的论断，即肯定其反面，从而又推岀这句

3、话是真。以上孑盾产生的原因是，由于语言结构层次的混乱，具体地讲，这是一句话套话的句子，且被套的话就是套它的话自身，或者说被断定的话与断定的话混而为一。2.康托悖论这个悖论是康托1899年发现的，现叙述如下。设集合M是所有集合的集合，试问集合M的基数M与集合M的幕集的基数P(M),哪个大。一方面，根据康托定理，任何集合A的基数A小于其幕集P(A),即A

4、Mo于是有P(M)M,即P(M)是M的子集,故又有MP(M)(ii)显然，（i）式与（ii）式矛盾，产生这种悖论的原因是，在承认康托定理的前提下，根据概拾原则所确定的集合M是不存在的。2.罗索傅论此悖论是罗素的1902年提出的，叙述如下。将集合分为两种，-•种是集合A亦是它的元素，即AA,例如，所有集合的集合就属于这一种。人们称这种集合为本身分子集。另一种集合A不是它的元索，即AA,例如，自然数集就属于这一种集合。人们称这种集合为非本身分子集。观将所育集合按此标准分为两类，-•类是所有本身分子集，另一类是所有非本身分子集。现在问

5、，所有非本身分子集组成的集是哪-种集合。为了陈述简明清晰，不妨设所有非木身分子集构成的集为M,即Mx:xxo如果M是本身分子集，即MM,由M的组成可推出MM；反Z,如果M是非木身分子集，即MM,由M的构成又可推出MM。综合以上可得如下逻辑推理表达式MMMM这是一个两边互相孑盾的等价式（注意这和康托悖论小的两个互相孑盾的命题有些微妙的差异。因为两个互相孑盾的等价命题，当然首先是两个互相矛盾的命题；但反之，两个互相才盾的命题未必都能化归为两个互相孑盾的等价命题）。产生这个悖论的根源是，这种所有非木身分子集是不存在的。3.理发师悖论下

6、血我们介绍罗索1919年仿他构造的集合论悖论改写而成的理发师悖论°将李家村上有刮胡子习惯的所有人分成两类，-类是自己给自己刮胡子，另一•类是自己不给自己刮胡子。该村有一个有刮胡子习惯的理发师给自己规定：给而且只给那些不能自己刮胡子的人刮胡子。试问这个理发师属于上述两类人小的哪一类或者这个理发师口己给口己刮不刮胡子？如果说他是属于自己给自12刮胡子的一类，但按照他自C的规定，他不能给自C刮胡子，从而推得他只能属于自己不给自己刮胡子的一•类，反之，如果说他是属于自己不给自己刮胡子的一类，但按照他的规定，他必须给白己刮胡子，因而他只能

7、属于白己给自己刮胡子的一类。综合以上可推岀如下的两个互相矛盾的等价命题理发师自己给自己刮胡子理发师自己不给口己刮胡子。4.理查德悖论这个悖论是1905年提出的，现已有很多不同的表达形式，这里仅就其小的一种陈述如下。将自然数的所有性质编成号码al,a2,,an,,如果序数i具有Qi所表示的性质，则称i是非理杳德自然数域，简称非理杳德数。例如，若令a3表示索数集或索数定义，因为3是素数，于是3就是非理杳德数。如果素数i与由所表示的性质不符，则称i为理杳德数。例如，令亦表示偶数，因为5不是偶数，所以5是理查德数。根据以上概念构造理查徳

8、悖论如下理杳德数是与编号所表示的性质不符的序数的自然数显然，这句话也表示口然数的一个性质，因而也有一个号码亦，试问序号j是理查德数还是非理查德数？下血给出简要论证。如果j是菲理杳德数，根据定义j具育这句话所表达的性质，即，j是一•个理杳德数；反之，如果j是理杳德