数学悖论及其意义

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1、第八章数学悖论及其意义悖论的起源已久，至今是一个涉及自然与社会科学中许多学科的论题．由于数学的发展是充满着矛盾的历史，因此，数学中出现悖论是不可避免的，甚至还可以这样说，数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理．这里，首先给出悖论的定义并列举历史上重要的悖论，然后对数学史上所谓三次危机作一个简要介绍。§1悖论的定义和常见的悖论值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而

2、悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说。一、悖论的定义我们采用徐利治教授主张的弗兰克尔和巴-希勒尔的说法“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矿矛盾的命题，或是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说，这个理论包含了一个悖论。”简言之，在这个定义中，首先指明了任何一个悖论总是相对于某一理论系统而言的。比如，著名的罗素悖论是一个被包含在古典集合论系统中的悖论。其次又指出一个悖论可以表现为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的

3、形式。不过从悖论的起源以及历史上一些著名的悖论来说，不一定都符合我们这个定义，它们有的是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观念，例如希帕索斯无理数的发现。有的是在推理过程看上去是合理的，但推理的结果却又违背客观实际。例如芝诺悖论。二、常见的悖论1、理发师悖论李家村上所有有理发习惯的人分为两类，一类是自己给自己理发的，另一类是由别人给他理发的。这个村上有一位有理发习惯的理发师自己约定：“给且只给村里自己不给自己理发的人理发。”现在问：这位理发师属于哪一类的人？2、罗素悖论（集合论悖论）这是罗素在1903年提出的悖论。叙述如下

4、：3、康托悖论这个悖论是康托1899年发现的。现叙述如下：4、说谎者悖论“我在说这句话时正在说谎”，试问这句话是真话还是假话？分析如下：若设它是真话，则因这句话（它是真话）也是出自我之口，故按此话（我在说这句话时正在说谎）的论断，可知这句话（它是真话）也是说谎，即这句话是假话；若设它是假话，则因这句话（它是假话）也是出自我之口，故按此话的论断，可知这句话（它是假话）也是说谎，即这句话是真话。故由它的真（假）导致它的假（真），总是矛盾的，这就是悖论。1947年设计出了世界上第一台用于解决逻辑问题的计算机，当用它来判断这个“说谎者悖论”

5、，即判断：语句：“我在说这句话时正在说谎”是真，是假时，这时只见“计算机发狂”了似的反复不断地打出：对、错、对、错……。关于这个悖论的由来是这样的：公元前6世纪，希腊的克里特人发现一个实际上没有构成现代意义下的悖论的悖论。其原始命题是：一个克里特人说：“所有的克里特人所说的每一句话都是谎话。”由于从假设这句话为真会导出它的假，而由它的假并导不出矛盾来。这样构不成现代意义下的悖论，不过它的确是古代著名的悖论，连西方的圣经《新约》中也用这个悖论。它是悖论的历史起源的典型例子。以上所举是逻辑（集合论）悖论和语义学悖论的典型例子。由于科学的

6、发展，各个领域中出现许多思维的、推理不清的问题，过去人们都称之为悖论，现在看来可能不一定是悖论。5、梵学者的预言印度预言家的女儿要想捉弄父亲，一天在纸上写下一句话（一件事），让她的父亲预言这件事在下午3时以前是否发生，并在一个卡片上写“是”或“不”。这位预言家果然在卡片上写了一个“是”字。他女儿在纸上写的一句话是：“在下午3点钟之前，你将写一个‘不’字在卡片上”。事实上：他在卡片上写“是”或“不”都是错误的，他根本不可能预言对。因为如果他写个“是”字，这就与他的女儿在纸上说她的父亲将写一个“不”字不相符合，也就是说他预言不对；如果他

7、写个“不”字，也就是说，在下午3点钟以前，你的确写了一个“不”字在卡片上，那怎么能说“不”呢？而应该说“是”才对啊！6、蠕虫爬橡皮绳一条蠕虫在一km长的橡皮绳一端以1cm/s的匀速向另一端爬行，而橡皮绳却以每秒（均匀）伸长1km,如此下去，试问蠕虫会不会看到橡皮绳的另一端点？7、上帝全能悖论8、芝诺悖论公元前496—430年间埃利亚（意大利南部一个城市）学派中心人物芝诺，他反对毕氏学派企图用“单子说”来解决“线段不可通约”的问题。（毕氏对不可通约的线段用一种如此之小的度量单位，以致本身是不可度量的（即长度为0）却又要保持为一种单位，

8、称作单子。用单子来度量它们，也就是以无穷小线段去公度正方形的边和对角线）。芝诺提出“单子本身是否有长度”的问题，并认为无穷小若有长度，则无限个相连接为无限大；无穷小若无长度，则无限个相连接仍是没有长度。芝诺还提出了著名的几个悖论。（1