奥数知识点 翻杯子.doc

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1、翻杯子l不能翻成功一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。这样，根据奇、偶数的性质，可以发现：当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时，无论翻几次，都不能成功。因为需翻动杯子的总次数为奇数（奇数个奇数的和为奇数），而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功。除此之外的其它情况都能翻成功，即： （杯子总数为N、每次翻动的个数为M）①N为奇数、M为偶数时，无法翻成功;  ②N为奇数、M为奇数时，且需翻动奇数次;  (N<2M，为3次)③N为偶数、M为奇数时，且需翻动偶数次;  (N<2M，为4次)④N为偶数、M为偶数时，且翻

2、动奇、偶次均可。(N<2M，为3次) l最少需翻几次，怎样翻？解题步骤：①能不能翻成功②能成功，翻几次1、当N=M倍，需翻N÷M次 例1、8个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?  解：①∵N与M同为偶数；∴能翻成功②翻2次（=8÷4）  通常，考题中的N是不能被M整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥3次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数(N-M)和每次翻动杯子数M之间的关系。①N=M+1；②N>2M；③N<2M。 2、当N=M+1时，需翻次数=杯子总数=N次 （轮翻）例1、有8

3、个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?  解：①∵N为偶数，M为奇数；∴(偶数次)能翻成功②翻8次（轮翻，次数=N） 具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)   ○○○○○○○○   第1次 ●●●●●●●○   第2次 ○○○○○○●●   第3次 ●●●●●○○○第4次 ○○○○●●●●   第5次 ●●●○○○○○   第6次 ○○●●●●●●第7次 ●○○○○○○○   第8次 ●●●●●●●●（第1次第1个不翻，第2次第2个不翻，每3次第3个不翻。。。。。。第8次第8个不翻）结论：通过上图发现，每两次就能翻成两个，所以

4、8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数N的基础上另外增加了两个杯子，即有(N+2)个杯子。同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(N+2a)个杯子需要翻动。显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加2×6=12个杯子，则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次)，8+12×4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻56÷8=7次。2、当N>

5、2M例2：有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下?  解：①∵N为奇数，M为奇数；∴能翻成功②需翻动奇数次（13个奇数之和是奇数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)   ○○○○○○○○○ ○○○○ 第1次 ●●●●●○○○○ ○○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第2次 ●●●●○●●●● ○○○○第3次 ●●●●●●●●● ●●●●（当剩下的杯子数是小于2M的偶数时，先翻动它的一半， 再由左边的补足）例3：有12个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全

6、部向下?  解：①∵N为奇数，M为偶数；∴能翻成功②需翻动偶数次（12个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)  ○○○○○○○○○○○○第1次 ●●●●●○○○○ ○○○（剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）第2次 ○○○○●●○○○ ○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第3次 ●●●●●●●○○ ○○○第4次 ●●●●●●●●● ●●● （当剩下的杯子数是小于2M的奇数时，先翻动它的一个， 再由左边补足，变为乘下偶数）3、当N<2M(1)若N与M同偶或同奇，需3次。 (2)若N是偶数，M是奇

7、数，需4次。 例4：有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?  解：①∵N为偶数，M为奇数；∴能翻成功②需翻动偶数次（8个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下)○○○○○○○○ 第1次 ●●●●●○○○（剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）第2次 ●○○○○●○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）第3次 ○●●●○○○○第4次 ●●●●●●●●