古塔观测数据的计算和变形分析.pdf

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1、第6卷第4期2014年8月V01．6No．4Aug．2014古塔观测数据的计算和变形分析付小娟1吴洪坤2(1．广州民航职业技术学院人文社科学院，广东510403；2．广州民航职业技术学院飞机维修工程学院，广东510403)【摘要】本文根据2013年全国大学生数学建模竞赛c题附录1的数据，提出了确定古塔各层中心位置的八边形重心坐标拟合法，采用matlab计算出了各层的塔心坐标。利用顶层坐标相对于底层的倾斜量求得该塔的倾斜度；采用各层塔心坐标拟合曲线的曲率来描述弯曲度；并提出了利用同一个测试点与塔心连线发生的扭转角度来描述扭曲度的设想。【关键词】重心坐

2、标；空间平面；倾斜度；曲率；扭曲度【中图分类号】Tu一87【文献标识码】A【文章编号】1674—7461(2014)04—0093—051引言某古塔已经有上千年历史，是我国重点保护文物。但由于古塔长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门适时对古塔进行观测，每次都得到一组数据，以制定必要的保护措施。现根据2013年全国大学生数学建模竞赛C题附录1的数据，提出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3、2建立模型2．1问题分析古塔在倾斜、弯曲、扭曲等变形中，每一层的层面结构、塔心坐标等都发生了变化，为方便起见，首先只计算各次测量的第一层塔心，把每次测量得到的第一层的测试点作为研究对象，并且按照题目给出的顺序编号为1，2，3⋯．．8号点，为了解八个点的相对位置，利用matlab画出四次测试第一层八个点的空间图形，如图1所示，发现测试点不在一个水平面上，组成一个类似于八边形的结构，经计算八条连线的长度如表1所示，每条连线是不等长的，所以测试点并不是均匀取定的，但是前两次测试的数据比较接近，各条连线对应几乎相等，后两次测试的数据也比较接近，各条连线也对

4、应几乎相等，由此推断，前两次测试点是一一对应的，而后两次测试点也是一一对应的。图1第一层坐标图．蓝：1986。绿：1996。红：21109。黑：2011为了组成一个平面多边形，设想把测试点投影到某个平面上，用投影八边形的重心坐标表示塔心坐标，由于各次测试点并不在一个水平面上，所以采用空间倾斜平面作为投影面，首先利用各层八个测试点拟合一个空间平面，如图2表示1986年测试第一层八个测试点拟合的空间平面，然后把测试点投影到这个空间平面上，这样就可以得到一个空间【作者简介】付小娟(1980一)，女，讲师，硕士。主要从事应用数学研究。平面上的八边形¨j，利

5、用matlab求得八边形的重心，就得到了各层的塔心坐标。根据问题一求出的四组塔心的坐标，算出顶层与底层的倾斜位移，进而求出倾斜量。再用各次测量每一层的塔心坐标拟合出四条空间曲线，用曲线的曲率表示塔的弯曲情况。塔的扭曲度可以利用同一个测试点相对于塔心发生的扭转来描述。通过前面变形数据的分析，可以得到塔在以后的变形趋势。根据塔的变形趋势，我们提出了几点建议。图21986年测试第一层坐标点拟合的空间平面图2．2模型建立2．2．1塔心坐标模型的建立与求解图1所示第一层的八个测试点不在一个水平面上，把1986年测得的原始数据绘成图3，发现形如塔状，其他各层测

6、试点也不在一个水平面上；所以采用先根据测试点拟合一个空间平面Ⅱ，口的方程常用公式(1)表示，当有n个测试点时，要拟合这个平面，可以表示成矩阵旧1方程(2)的形式，利用matlab【33求解出各层测试点拟合的平面方程，把每次测的各测试点投影到这个拟合平面上，设空间中任意一个点是B。(戈。，Y。，z。)，其在平面Ⅱ上的投影点设为B：(戈：，Y：，z：)，则投影方程如公式(3)所示，算出k值，带入(3)式得到各个测试点的投影点坐标，连成投影八边形，求其重心坐标。多边形的重心计算MJ，设有图4所示的n边形A。A2⋯Ai⋯A。，各顶点坐标分别是Ai(戈i，Y

7、；，气)(i-1，2⋯n)，连接A。A2，A。A3，⋯A。A∥一，A。A。一2，得到n一2个三角形，设各个三角形的重心坐标分别是Gi(菇i，Yi，乞)(i_1，2⋯n一2)，其中每个坐标的计算如公式(4)所示。设第i个三角形的面积是or。，先利用两点之间距离公式，求出第i个三角形的三边长oi，bi，ci，再套人公式(5)求出盯i。设多边形的重心坐标为0(戈，Y，彳)，计算公式如公式(6)所示。AX+By+CZ+l=0(1)_⋯i㈨删㈩{Y2=y，+忌Bc其中后=墨兰：芝等，ii：生警(4)‘一^＼-r，(其中pi：堕÷P型)(5)一∑ori筏∑盯i

8、托一∑矿iYi一∑盯i毛∑盯i。^1如⋯k∑呒∑盯i表1四次测试第一层八个测试点之间的距离。之4石培枷古塔观测数据．6计算