圆周率π的近似计算方法

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1、圆周率π的近似计算方法班级学号姓名众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.1415926…。古代人把3作为它的近似值。π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这

2、是不足近似值。割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π＝3927/1250＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926＜π＜3.1415927，得到π的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“

3、祖率”。我们再回头看一下国外取得的成果。1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π=3927/1250=3.1416。1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π值，他的结果是：π＝3.14159265358979325有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一

4、百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进，提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，这样从3、4出发，六次加成到约率，第七次出现25／8，就近与其紧邻的22／7加成，得47／15，依次类推，只要加成23次就得到密率。16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π近似值，用6×216正边形，推算出精确到9位小数的π值。17世纪初，德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他从正方形开始将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来的，一直推导出了有262条边的正多边形，约4,610,000,000,000,00

5、0,000边形！这样，算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果，在德国圆周率π被称为"鲁道夫数"。但是，用几何方法求其值，计算量很大，这样算下去，穷数学家一生也改进不了多少。17世纪出现的数学分析使π的计算历史也随之进入了一个新的阶段。　这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算π。在1593年，韦达给出这一不寻常的公式是π的最早分析表达式。甚至在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π值。接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年

6、给出：一些计算圆周率的经典的常用公式：梅钦公式1914年，印度数学家SrinivasaRamanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。1989年，David&GregoryChudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,0

7、00,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：Bailey-Borwein-Plouffe算法这个公式简称BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，FabriceBellard找到了一个比BBP快40％的公式现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用LudolphVanCeulen算出

8、的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值：　"十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。"另外值得一提的是π的其他计算方法。在177