建模 路灯照明问题.doc

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1、数学实验与数学建模路灯照明问题年级：20121060025班级：电子信息科学与技术学生：吕佳琪学号：20121060025大学信息学院路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？摘要本题利用方程（组）模型，求两只路灯连线的路面上的最暗点和最亮

2、点。查阅资料知：光照强度公式为，根据题意可建立坐标轴，假设两只路灯在道路上的照射半径的长度之和为20m，可得路面上某点的照度为两只路灯在该点的照度之和。列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出该方程的最值（即最暗点与最亮点及其亮度）。关键词：路灯照明方程（组）MATLAB最值一、问题重述在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路

3、面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、模型假设1.假设把两个路灯视为质点；2.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；3.假设路灯为同一型号；4.假设路灯的光照强度；5.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；6.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m；7.假设路灯正常工作；三、变量说明K………………………………路灯光照强度系数P…………………………………路灯的功率S………………………………道路的宽度αi………………………………路灯光线与地面的夹角Ri……………………………

4、…路灯到路面上某点的距离hi………………………………路灯离地面的垂直距离X………………………………2KW路灯的投影到路面上某点的距离I(X)………………………………路面上某点的光照强度Ii………………………………路灯光照强度四、问题分析问题一根据两路灯间的距离关系建立坐标轴，利用路灯光照强度的计算公式列出方程，再用MATLAB软件求解。问题二由于h2的高度可变，在问题一建立的方程的基础上，先对X求偏导，再对h2求偏导，最后用MATLAB软件编程求解。问题三因为h1和h2的高度都可变，同问题二，依次对X，h1，h2求偏导

5、。五、模型的建立由题意可得下图假定路灯光照强度系数k=1。问题一：由题意得，设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为Q点的照度：要求最暗点和最亮点，即求函数I(x)的最大值和最小值，则可先求出函数的极值点利用MATLAB求得时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1运行结果：s1=19.976695819.3382991368.538304309-1

6、1.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上所述，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。问题二：3KW的路灯的高度可以在3M到9M之间变化变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：与（

7、1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点利用matlab求x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/

8、((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3