压缩映象原理的证明及应用.pdf

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1、第10卷第1期衡水学院学报Vol.10,No.12008年2月JournalofHengshuiUniversityFeb.2008压缩映象原理的证明及应用张卿（衡水学院数学与计算机科学系，河北衡水053000）摘要：压缩映象原理是泛函分析中一个最常用、最简单的存在性定理，作为其特殊情形可用来研究某类递推数列的敛散性．这里给出了这个定理的两种证明方法并举例说明如何利用它求一类递推数列的极限．关键词：压缩映象；递推数列；极限中图分类号：O177文献标识码：A文章编号:1673-2065(2008)01-0003-02压缩映象原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程

2、解的存在唯一性定理证明中起着非常重要的作用．这里给出了它的特殊情形的两种证明方法并举例说明如何利用它求一类递推数列的极限．1预备知识[1]225定义：设y=f()x在[]a,b上有定义，且f(x)∈[a,b]，及对任意x,x∈[]a,b皆有12f()()x−fx≤λx−x,()0<λ<1．则称函数y=f(x)是[a,b]上的压缩映象．1212[1]2252定理（压缩映象原理）：若y=f()x是[a,b]上压缩映象，则存在唯一点x∈[]a,b,使0f()x0=x0()称xyfx0为=()的不动点．该定理在文献[2]已有证明，这里又给出了两种证明方法证明1∀x∈[]

3、a,b,作x=f()x，⋯x=f(x)(n=2,3⋯)，则数列{}x收敛．事实上，121nn−1n∞xxxxxxnn=+−+−++−12132()()⋯(xxn−1)．因此数列{xn}与级数∑()xn−xn−1同敛散．而n=2f()x−f(x)∞xn+1−xnnn−1=≤λ<1．由比值判别法知级数∑()xn−xn−1绝对收敛．故知数列{xn}收xn−xn−1xn−xn−1n=2敛，记limx=x,易知x∈[]a,b．n00n→∞又由f()x+∆x−f(x)≤λ∆x知在此区间上连续．于是x=f(x)两边取极限，得x=f(x)．nn−100唯一性:假设还有y∈[]a

4、,b,使得y=f(y)，那么，000y−x=f()y−f(x)≤λy−x0，F(b)=f(b)−b<0，故由根的存在性定理，存在x∈[]a,b，使得F()x=0，即x=f(x)．0000唯一性的证明同方法一中的唯一性的证明．3定理

5、应用定理的证明过程告诉我们若f为[]a,b上的压缩映象，则∀x∈[a,b]，由递推式x=f(x)确定1n+1n收稿日期：2007-10-12作者简介：张卿(1966-),女,河北辛集市人,衡水学院数学与计算机科学系副教授,理学硕士.4衡水学院学报第10卷数列{}x收敛，且x=limx为f的唯一不动点．n0nn→∞2aaxn−1例1设x=,a∈[]0,1，xn=−=2,3⋯；求证数列{x}收敛并求其极限．1nn2222a⎡a⎤ax⎡a⎤证明易知0≤x≤．我们在区间0,上考虑函数f()x=−．对任意x,x∈0,有n2⎢2⎥2212⎢2⎥⎣⎦⎣⎦22()()x1x21

6、a⎡a⎤fx−fx=−=x−xx+x≤x−x（a∈[0,1]）即f(x)是0,上的压缩映1221212212⎢2⎥22⎣⎦2ax0象，从而{}x收敛于方程的解．设x=−得x=1+a−1即x=1+a−1．n00022c(1+x)n例2设x>1,x=，（c>1为常数）．求证数列{x}收敛并求其极限．nn+1nc+xnc(1+x)n证明c>1，x>1,则0

7、)()⎛1⎞fx1−fx2=f′ξx1−x2<⎜1−⎟x1−x2即f(x)是[0,c]上的压缩映象，从而{}xn收敛于方程⎝c⎠c()1+x0的解．设x=得x=c即limx=c．00nc+xn→∞0参考文献：[1]龚冬保，魏战线，张永怀，等．数学考研典型题[M].西安：西安交通大学出版社，2004:225．[2]张金．关于递推数列极限的一种求法[J].和田师范专科学校学报,2005，25（6）：181．ProofandApplicationofContractionMappingPrincipleZHANGQing（DepartmentofMathematics

8、andComputerS