高三数学第一轮复习：立体几何复习：空间向量与立体几何（理）人教实验B版 知识精讲.doc

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1、高三数学第一轮复习：立体几何复习：空间向量与立体几何（理）人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何复习：空间向量与立体几何二.教学目的1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法三.考点分析本讲的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．1、空间向量及其运算重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算重点：空间向量的运算和运算律难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向

2、量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．（2）空间向量基本定理重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理．难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图（3）两个向量的数量积重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平

3、面向量相同．（4）空间向量的直角坐标运算重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件．难点：向量坐标的确定、公式的应用．2、空间向量的应用重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离．难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离．（1）直线的方向向量与直线的向量方程重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角．难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示．（2）直线与平面的夹角重点：斜线和平面所成的角

4、（或夹角）的求法．用心爱心专心难点：斜线与平面所成的角的求解，公式的灵活运用．四.知识梳理【基本概念】1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使．推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线l的方向向量．在l上取，则或．O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是，其中x+y=1．特别地，当时，P为AB的中点，称为线段AB的中点公式．2、共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y，使。推论：空间一点位

5、于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使．对于空间任一定点O，有．对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是，其中。3、如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使，其中{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使。4、空间向量的数量积：空间向量的数量积的性质：①②③④空间向量的数量积的运算律：①（结合律）②（交换律）③（分配律）5、向量的直角坐标运算设，则用心爱心专心设，则【基本方法】1、平面法向量的求法设

6、是平面的一个法向量，其坐标为，利用与平面内的两个不共线向量垂直，其数量积为0列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量。2、线面角的求法设是平面的一个法向量，是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成角为arc3、二面角的求法①AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为；②设分别是二面角的两个面的法向量，则，这就是二面角（或其补角）的大小。4、点、面距离的求法设是平面的法向量，AB是平面的斜线段，则点B到平面的距离用心爱心专心。【典型例题】例1.如图所示，在平行六面体中，设，M、N、P分别是、

7、BC、的中点，试用a、b、c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）。分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。解析：（1）∵P是的中点，∴（2）∵N是BC的中点，∴（3）∵M是的中点，∴又∴。点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．【共线、共面向量问题】例2.已知A、B、C三点不共

8、线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？（1）；（2）用心爱心专心分析