高二数学（理）立体几何中的向量方法人教实验版（A）知识精讲

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1、高二数学（理）立体几何中的向量方法人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何中的向量方法二.重点、难点：直线，m的方向向量为平面的法向量为（1）（2）（3）（4）（5）（6）【典型例题】[例1]已知，若且，求x+y的值。解：由①又即②由①②有：或∴或[例2]设向量，计算，并确定的关系，使与z轴垂直。解：用心爱心专心由即当满足即使与z轴垂直[例3]如图，在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为，求BD的长度。解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意有A（0，2，0），C（

2、2，0，0），则E（1，1，0），设D（0，0，z），（z>0），则∴∵∴∴即BD=4[例4]在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。用心爱心专心解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）∵∴则即（2）∴由（1）知故EF与所成角的余弦值为（3）∵H为C1G1的中点∴H（0，），又F（）∴即[例5]如图，在棱长为

3、2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。用心爱心专心解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）（2）∵∴，∴与所成的角的余弦值为[例6]如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。证：如图，建立空间直角坐标系，设，，则：A（0，0，0），B（），C（），D（），P（）用心爱心

4、专心∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E（），F（）（1）∵∴∴与、共面又∵平面PAD∴EF//平面PAD（2）∵∴∴CD⊥EF（3）若，则有，即∴∴∴∵平面AC∴是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：[例7]在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：平面ADE；（2）解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），用心爱心专心A（1，0，0，），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0）则，则∴∴平面ADE（2）B1（1，1，1），C（0，1，0），故∴，则[例8]如图，在四棱锥中，底

5、面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。用心爱心专心（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A（），P（0，0，a），E（）∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心故点G的坐标为（）且，∴，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB∴PA//平面EDB（2）证明：依题意得B（），又，故∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB

6、⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（），，则从而，所以由条件EF⊥PB知，即解得∴点F的坐标为（）且，即，故是二面角C—PB—D的平面角∵用心爱心专心且∴∴，所以，二面角C—PC—D的大小为[例9]如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的垂心G。（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离。解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即是与平面ABD所成的角，如图所示建立坐标系，坐标原点为O，

7、设CA=，则A（），B（），D（0，0，1），A1（，0，2），E（），G（）∴∴，解得∴，∴A1B与平面ABD所成角是（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）用心爱心专心∴平面AA1E，又ED平面AED∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE∴点A在平面AED的射影K在AE上设，则由，即，解得∴，即即点A1到平面AED的距离为[例10]如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：如图，设，以为坐标向量建立空

8、间直角坐标系C—xyz由题设C（0，0，0），A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，