高中数学：1.3.2《函数的奇偶性》学案（新人教A版必修1）.doc

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1、第4课时函数的奇偶性基础过关1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为

2、；②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期典型例题例1.判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg

3、x-2

4、.解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f(x)的定义域为R，又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2

5、(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R，又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（3）由

6、x-2

7、＞0，得x≠2.∴f（x）的定义域{x

8、x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇

9、非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f（x）=.∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.例2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y

10、).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明：∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.（2）解：方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x+y）-f（

11、x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.则f

12、(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2

13、-x),求f(x)的解析式.解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x)（x＞0）.∴f(x)=即f(x)=-xlg(2+

14、x

15、)(x∈R).例3已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2009］上的所有x的个数