谈谈题目的组织与编制.doc

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1、谈谈题目的组织与编制一．题目的选择与组织1．考试题的命制（1）难度的控制（2）重现与创新（3）让谁考高分2．训练题的组织（1）难易的比例（2）重复与强化（3）题量的控制二．谈谈题目的编制例.（05年数学通讯12期）（北京市海淀区2007届高三上学期期末）已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：①对于任意[0,1]，总有，且；②若则有（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求证：f(x)；（Ⅲ）当时，试证明：.解.（Ⅰ）解：令，由①对于任意[0,1]，总有，∴1分又由②得即2分∴3分（Ⅱ）任取且设则因为，所以，即∴.5分∴当[0,1]时，

2、.6分（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，不等式成立；7分（2）假设当n=k时，由得即所以，当n=k+1时，不等式成立；10分由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.11分于是，当时，，所以，13分（一）．成题的挖掘与推广例1（2006年全国一）设集合.选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．B．C．D．推广．已知集合，选择两个非空子集A和B构成有序子集对（A，B）.　（1）要使B中最小的数大于A中最大的数，这样的子集对（A，B）有多少个？　（2）要使B中最小的数小于A

3、中最大的数，这样的子集对（A，B）有多少个？　　解：（1）解法1　考虑集合A与B的并集元素个数，当=2时，这样的子集对为个，即较大的元素在B中，较小的元素在A中；当时，这样的子集对为个；；当时，这样的子集对为个.故所有满足条件的子集对（A，B）有个.解法2　B的最小元素不可能是1，当B中最小元素是时，则集合A有种可能，集合B有种可能，于是这样的子集对有　　　　（2）解法1　所有的非空子集对共有个　首先考虑B中最小的数等于A中最大数的情况，若A中最大数为，则B中最小数为，于是集合A有种可能，集合B有种可能，于是这样的子集对有个，故B中最大数

4、等于A中最小数的子集对有个，再由第（1）问知满足B中最小的数大于A中最大数的子集对个数为.所以满足条件的子集对个数为解法2　B中的最小元素不可能是n,当B中最小元素为时，集合B有种可能，集合A有种可能，此时有子集对个.于是共有子集对　　　　个.例2（2006中学数学第11期新题征展）已知抛物线及定点，过M作两互相垂直的直线与抛物线交于A、B、C、D四点，四边形ADBC的面积是否有最大值和最小值？若有，何时取得最值？（2007安徽文科）：设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．进一步

5、推广：已知抛物线及定点，过M作两直线与抛物线交于A、B、C、D四点，使其斜率之积为，求四边形ADBC的面积有最小值（09全国2）.已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为。例3：一质点由原点出发作如下运动：先向第一象限任意方向运动，运动距离为，再沿轴正方向运动，运动距离为，（其中），则质点所有可能达到的位置形成的区域面积为____________改编：一质点由原点出发作如下运动：先向第一象限任意方向运动，运动距离为，再沿向量方向运动，运动距离为，（其中），则质点所有可能达到的位置形成的区域面积为___________

6、_再改编：空间内一质点由原点出发作如下运动：先向面上方任意方向运动，运动距离为，再沿轴正方向运动，运动距离为，（其中），则质点所有可能达到的位置形成的区域体积为___________例4．已知正实数及函数满足且,求的最小值.（中学数学）改编1：已知正实数及函数满足(为大于零的常数)，且,求的最小值.（中学数学）改编2：已知函数，且(均大于)，求的最小值.（二）结论的类比例：（1）等差数列中，，则（2）等差数列的前项和为，若，则（3）等差数列的前项和为，，则（中学数学2005年第4期）类比（1）：等比数列，则类比（2）：等比数列的前项积为，

7、若，则类比（3）：等比数列的前项积为，，则（三）．以圆锥曲线的性质为背景xyABPOM（中学数学2006年11期）例1．已知抛物线，过y轴上一定点M(0,2)作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点P.则(1)直线AB斜率为何值时，∠APB最小？(2)直线AB斜率为何值时，最小？（06年全国2）已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。提示F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为，B点的坐标为由可得因此过A

8、点的切线方程为(1)过B点的切线方程为(2)解(1)(2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0即为定值2.=0可得三角形面积xy所以当且仅当时取等号（数学通讯）例2．已知抛物线及点P，直线