处理平面向量模长问题的五大策略_何春良.pdf

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1、2016年第3期(上)中学数学研究13处理平面向量模长问题的五大策略江西省信丰中学(341600)何春良平面向量是高中数学知识的一项重要内容,它集数与形例2(2013年天津卷·文)于一体,沟通了代数、几何与三角函数.它作为高考的重要考在平行四边形ABCD中,AD=点,经常出现在选择填空的压轴题中,尤其是平面向量的模◦1,BAD=60,E为CD的中长问题,在近几年高考命题中频率较高,考生在处理这类问−→−−→点,若AC·BE=1,则AB的长题时,经常感到无助,不知从何处寻找切入口.高三复习,贵为.图2在快捷有效,让所学和知识系统化、网络化,使

2、解题方法形成−→−→−−→解如图2所示,因为AC=AB+AD,方法论.作为教育一线的教师,笔者对各省近几年有关平面−−→−→−−→−−→BE=BA+AD+DE向量模长问题的高考题进行了系统的整理,归纳出了处理平−→−−→1−→面向量模长问题的五大策略,以供大家参考与学习.=−AB+AD+AB2−−→1−→=AD−AB策略一:直角坐标法2所以直角坐标法是处理平面向量模长问题的主要方法,只要−→−−→−→−−→−−→1−→AC·BE=(AB+AD)(AD−AB)能够建立直角坐标系,把点的坐标表示出来,则向量的坐标2−−→21−−→−→1−→2就可

3、以求出来,从而平面向量的模长就可以套坐标公式解决.=AD+AD·AB−AB2221−→◦1−→2=1+×1×

4、AB

5、·cos60−

6、AB

7、例1(2011年天津卷·理)已知直角梯形ABCD中,22◦=1AD//BC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上−→−−→的动点,则

8、PA+3PB

9、的最小值为.1−→1−→2−→11即

10、AB

11、−

12、AB

13、=0,解得

14、AB

15、=,即AB的长为.4222注此题也可以用直角坐标法来解,但建系特征不是很解以D为坐标原点,DA明显,不容易想的到.所在直线为x轴,DC所在直线策略三:平方法为y轴,建立如图1所示

16、的直当题目中所给已知条件是向量的夹角与向量的模长时,角坐标系.由题意知,A(2,0),设容易想到用平方法,再结合向量数量积公式,可以得到所要−→C(0,m),P(0,y),则B(1,m),PA=求的向量模长的关系式;若向量的夹角未知时,可以利用夹−−→−→(2,−y),PB=(1,m−y),PA+角的余弦函数的有界性得出所求向量模长的范围.−−→−→−−→3PB=(5,3m−4y),

17、PA+3PB

18、=图1√3m例3(2012年全国新课标I卷·文)已知向量⃗a,⃗b夹角52+(3m−4y)2>5,当且仅当y=时,等号成立,即◦√4为45,且

19、⃗

20、a

21、=1,

22、2⃗a−⃗b

23、=10,则

24、⃗b

25、=.3m−→−−→√当y=时,

26、PA+3PB

27、有最小值5.4解由

28、2⃗a−⃗b

29、=10两边平方,得224

30、⃗a

31、−4⃗a·⃗b+

32、⃗b

33、=10.策略二:向量基底法√◦2因为

34、⃗a

35、=1,⃗a·⃗b=

36、⃗a

37、

38、⃗b

39、cos45=

40、⃗b

41、,所以2若问题不适宜建立直角坐标系解决,则不妨尝试向量基√2

42、⃗b

43、−22

44、⃗b

45、−6=0,底法,它也是处理平面向量模长问题的主要方法,所谓向量√√√基底法就是根据平面向量基本定理,选择好向量基底,再把解得

46、⃗b

47、=32或

48、⃗b

49、=−2(舍去),故

50、⃗b

51、=32.题目所

52、给向量全部用基底表示出来,最后翻译题目所给的向例4(2013年湖南卷·理)已知⃗a,⃗b是单位向量,⃗a·⃗b=0,量关系.若向量⃗c满足

53、⃗c−⃗a−⃗b

54、=1,则

55、⃗c

56、的取值范围是()14中学数学研究2016年第3期(上)√√√√A.[2−1,2+1]B.[2−1,2+2]所以√√C.[1,2+1]D.[1,2+2]−→−−→−−→

57、OA+OB+OD

58、解依题意,不妨设⃗a=(0,1),⃗b=(1,0),则⃗a+⃗b=√√√=(2+cosθ)2+(3+sinθ)2(1,1),

59、⃗a+⃗b

60、=2.由

61、⃗c−⃗a−⃗b

62、=1两边平方,得√√2

63、2=8+23sinθ+4cosθ

64、⃗c

65、−2⃗c·(⃗a+⃗b)+

66、⃗a+⃗b

67、=1,√√√23再设⃗c与⃗a+⃗b的夹角为θ,则上式可化为=8+27sin(θ+φ)(其中tanφ=3)√√√√2

68、⃗c

69、−22

70、⃗c

71、cosθ+1=0,68+27=7+1√又因为

72、⃗c

73、̸=0,所以当且仅当sin(θ+φ)=1,即sinθ=cosφ=21时,等号成

74、⃗c

75、2+1−→−−→−−→√7cosθ=√61,立,所以

76、OA+OB+OD

77、的最大值是7+1.22

78、⃗c

79、注此题也具有明显圆的特征,所以也可用后面的造构即2√几何模型法来求解.

80、⃗c

81、−22

82、⃗c

83、

84、+160,√√策略五:构造几何模型法解得2−16

85、⃗c

86、62+1,故选A.注此题有明显圆的特征,所以可以用后面的三角换元向量语言在表述几何元素及其位置关系上具有方