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《离散数学王元元习题解答 (5).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二篇集合论第四章集合及其运算4.1集合的基本概念容提要4.1.1集合及其元素集合是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。组成集合的对象称为集合的成员或元素（member）。通常用一对“{}”把集合的元素括起来，表示一个集合。元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念。即当对象a是集合A的元素时，称元素a属于集合A，记为a∈A当对象a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为Ø(a∈A)或aÏA对任何对象a和任何集合A，或者aÎA或者aÏA,两者恰居其一。这正是集合对其元素的“确定性”要求。定义4．1空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（fini
2、tesets），否则称为无限集（infinitesets）。有限集合中元素的个数称为基数（cardinality）（无穷集合的基数概念将在以后重新严格定义）。集合A的基数表示为
3、A
4、。4.1.2外延公理、概括公理和正规公理集合论依赖于三大基本原理：外延公理（extensionalityaxiom）、概括公理（comprehensionaxiom）和正规公理（regularityaxiom）。它们从根本上规定了集合概念的意义。外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。即对任意集合A，B,A=B«"x(xÎA«xÎB)外延公理事实上刻划了集合的下列特
5、性：集合元素的“相异性”、“无序性”，及集合表示形式的不唯一性。概括公理:对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得S＝{xêxÎU∧P(x)}概括公理规定了集合元素的确定性,以及集合的描述法表示的理论依据，它还规定了空集的存在性。正规公理：不存在集合A1，A2,A3，…，使得…ÎA3ÎA2ÎA1正规公理的一个自然推论是：对任何集合A，{A}¹A（否则有…ÎAÎAÎA）。从而规定了集合{A}与A的不同层次性,因而正规公理也就规定了集合不能是自己的元素。4.1.3子集合定义4.2集合
6、A称为集合B的子集合（或子集，subsets），如果A的每一个元素都是B的元素，即"x(xÎA®xÎB)A是B的子集，表示为AÍB（或BÊA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。定理4.1对任意集合A，B，A＝B当且仅当AÍB且BÍA。定理4.2对任意集合A，AÍU。定理4.3设A，B，C为任意集合，若AÍB,BÍC，则AÍC。定理4.4对任何集合A，ÆÍA。即空集是任意集合的子集。定理4.5空集是唯一的。定理4.6设A为一有限集合，
7、A
8、=n，那么A的子集个数为2n。习题解答练习4.1l、证明：如果AÎ｛｛b｝｝，那么bÎA。证由于A为集合｛｛b｝｝的元
9、素，而集合｛｛b｝｝中只有一个元素｛b｝，所以A=｛b｝；又因为bÎ｛b｝，所以bÎA。2、用描述法规定下列集合：（1）A＝｛1，3，5｝（2）B={2，3，5，7，11，13，17，…，89，97}（3）C＝｛｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，…，｛9｝｝（4）全集U解（1）A＝（2）B=，：为小于100的质数（3）C＝（4）U＝为任意一元谓词公式3、对任意对象a，b,c，d，证明：{{a},{a,b}}＝{{c},{c，d}}当且仅当a=c且b=d证设a=c且b=d，则显然{{a},{a,b}}＝{{c},{c，d}}；设{{a},{a,b}}＝{{c},{
10、c，d}}，则有{a}＝{c}，{a,b}＝{c，d}或者{a}＝{c，d}，{a,b}＝{c}。前一种情况有a＝c且b＝d；后一种情况有a＝c＝d且a＝b＝c，所以有a＝c且b＝d。命题得证。4、指出下列集合序列的排列规律，并依此规律再写出两个后续集合：Æ，｛Æ｝，｛Æ,｛Æ｝｝,｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝｝，┅解上述集合序列的排列规律是An+1＝AnÈ｛An｝。两个后续集合分别为：｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝，｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝｝｝；｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝，｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝｝，｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，｛Æ｝｝，｛Æ，｛Æ｝，｛Æ，
11、｛Æ｝｝｝｝｝。5、“如果AÎB,BÎC，那么AÎC”对任意对象A,B,C都成立吗？都不成立吗？举例说明你的结论。解并不都成立，例如：设A＝1,B＝{1},C＝{{1}}，此时AÎB且BÎC，但AÏC；另一方面，并不是都不成立，例如：A＝1,B＝{1},C＝{1，{1}}，此时AÎB，BÎC，且AÎC。6、确定下列各命题的真、假；（1）ÆÍÆ（2）ÆÌÆ（3）ÆÎÆ（4）ÆÍ｛Æ｝（5）ÆÎ｛Æ｝（6）｛a,b｝Í｛a,b,c,｛a，b，c｝｝（7）｛a,b｝Î｛a，b，c，｛a，b，c｝｝（8）｛a,b｝Í｛｛a，b｝，｛｛a，b｝｝｝（9）｛a,b｝Î｛｛
12、a，b｝，｛｛a，b｝｝｝（10）{{
