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时间:2020-06-14
《离散课后习题问题详解4.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十章部分课后习题参考答案4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭:(1)整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元(2)非零整数集合普通的除法运算。不封闭(3)全体n×n实矩阵集合(R)和矩阵加法及乘法运算,其中n2。封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律;加法单位元是零矩阵,无零元;乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;(4)全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n2。不封闭运(5)正实数集合和算,其中运算定义为:不封闭因为1�1=1×1−1−1=−1∉+R关(6)n于普通的加法和乘法运算。封闭,均满足交换律,结合
2、律,乘法对加法满足分配律加法单位元是0,无零元;n乘法无单位元(>1),零元是0;=1单位元是1n运n(7)A={a1,a2,⋯,a}n算定义如下:封闭不满足交换律,满足结合律,关(8)S=于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律(9)S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律(10)S=,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。见上题17.设*为Z+上的二元运算∀,+xy∈Z,X*Y=min
3、(x,y),即x和y之中较小的数.(1)求4*6,7*3。4,3(2)*在Z+上是否适合交换律,结合律,和幂等律?满足交换律,结合律,和幂等律(3)求*运算的单位元,零元及Z+中所有可逆元素的逆元。<单位元无,零元1,所有元素无逆元8.S=Q×Q为有理数集,*为S上的二元运算,a,b>,S有Q*=(1)*运算在S上是否可交换,可结合?是否为幂等的?不可交换:*=≠*可结合:(*)*=*=4、d+(ay+b)>*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的(2)*运算是否有单位元,零元?如果有请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。设是单位元,S,*=*=则==,解的=<1,0>,即为单位。>>设是零元,S,*=*=则5、y+b>==,无解。即无零元。>>S,设是它的逆元*=*=<1,0>==<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x≠0时,<,x−1=>y1,−yxx分10.令S={a,b},S上有四个运算:*,别有表10.8确定。2(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?(a)交换律,结合律,幂等律都满足,零元为a,没有单位元;(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元−1=−1a=a,bb(c)满足交6、换律,不满足幂等律,不满足结合律(a�b�b)=a�a=b,(a�b�b)≠(a�b)�b(a�b)�b=a�b=a没有单位元,没有零元(d)不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16.设V=〈N,+,〉,其中+,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么?(1)S1=是(2)S2=不是加法不封闭(3)S3={-1,0,1}不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案为8.设S={0,1,2,3},模4乘法,即"∀x,y∈S,xy=(xy)mod4〉问〈S,是否7、构成群?为什么?y解:(1)∀x,y∈S,x=(xy)mod4∈S,是S上的代数运算。(2)∀x,y,z∈S,设xy=4k+r0≤r≤3y(x)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod43(3)同理xyz)=(xyz)mod4(y(所以,(x)z=xyz),结合律成立。x∀x∈S,(x1)=(1)=x,,所以1是单位元。(4)1−1=1,3−1=3,0和2没有逆元〉所以,〈S,不构成群9.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算。如下:"∀x,y∈Z,
4、d+(ay+b)>*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的(2)*运算是否有单位元,零元?如果有请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。设是单位元,S,*=*=则==,解的=<1,0>,即为单位。>>设是零元,S,*=*=则5、y+b>==,无解。即无零元。>>S,设是它的逆元*=*=<1,0>==<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x≠0时,<,x−1=>y1,−yxx分10.令S={a,b},S上有四个运算:*,别有表10.8确定。2(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?(a)交换律,结合律,幂等律都满足,零元为a,没有单位元;(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元−1=−1a=a,bb(c)满足交6、换律,不满足幂等律,不满足结合律(a�b�b)=a�a=b,(a�b�b)≠(a�b)�b(a�b)�b=a�b=a没有单位元,没有零元(d)不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16.设V=〈N,+,〉,其中+,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么?(1)S1=是(2)S2=不是加法不封闭(3)S3={-1,0,1}不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案为8.设S={0,1,2,3},模4乘法,即"∀x,y∈S,xy=(xy)mod4〉问〈S,是否7、构成群?为什么?y解:(1)∀x,y∈S,x=(xy)mod4∈S,是S上的代数运算。(2)∀x,y,z∈S,设xy=4k+r0≤r≤3y(x)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod43(3)同理xyz)=(xyz)mod4(y(所以,(x)z=xyz),结合律成立。x∀x∈S,(x1)=(1)=x,,所以1是单位元。(4)1−1=1,3−1=3,0和2没有逆元〉所以,〈S,不构成群9.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算。如下:"∀x,y∈Z,
5、y+b>==,无解。即无零元。>>S,设是它的逆元*=*=<1,0>==<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x≠0时,<,x−1=>y1,−yxx分10.令S={a,b},S上有四个运算:*,别有表10.8确定。2(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律?(a)交换律,结合律,幂等律都满足,零元为a,没有单位元;(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元−1=−1a=a,bb(c)满足交
6、换律,不满足幂等律,不满足结合律(a�b�b)=a�a=b,(a�b�b)≠(a�b)�b(a�b)�b=a�b=a没有单位元,没有零元(d)不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16.设V=〈N,+,〉,其中+,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么?(1)S1=是(2)S2=不是加法不封闭(3)S3={-1,0,1}不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案为8.设S={0,1,2,3},模4乘法,即"∀x,y∈S,xy=(xy)mod4〉问〈S,是否
7、构成群?为什么?y解:(1)∀x,y∈S,x=(xy)mod4∈S,是S上的代数运算。(2)∀x,y,z∈S,设xy=4k+r0≤r≤3y(x)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod43(3)同理xyz)=(xyz)mod4(y(所以,(x)z=xyz),结合律成立。x∀x∈S,(x1)=(1)=x,,所以1是单位元。(4)1−1=1,3−1=3,0和2没有逆元〉所以,〈S,不构成群9.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算。如下:"∀x,y∈Z,
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