离散课后习题问题详解4.doc

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1、第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。不封闭（3）全体n×n实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n×n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭运（5）正实数集合和算，其中运算定义为：不封闭因为1�1=1×1−1−1=−1∉+R关（6）n于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合

2、律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；n乘法无单位元（>1），零元是0；=1单位元是1n运n（7）A={a1,a2,⋯,a}n算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，关（8）S=于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S=,S关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题17．设*为Z+上的二元运算∀,+xy∈Z，X*Y=min

3、(x，y),即x和y之中较小的数.(1)求4*6，7*3。4,3(2)*在Z+上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元及Z+中所有可逆元素的逆元。<单位元无，零元1,所有元素无逆元8．S=Q×Q为有理数集，*为S上的二元运算，a,b>,S有Q*=（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：*=≠*可结合：(*)*=*=

4、d+(ay+b)>*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。设是单位元，S，*=*=则==，解的=<1,0>，即为单位。>>设是零元，S，*=*=则

5、y+b>==，无解。即无零元。>>S，设是它的逆元*=*=<1,0>==<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x≠0时，<,x−1=>y1,−yxx分10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，别有表10.8确定。2(a)(b)(c)(d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a)交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元−1=−1a=a,bb(c)满足交

6、换律,不满足幂等律,不满足结合律(a�b�b)=a�a=b,(a�b�b)≠(a�b)�b(a�b)�b=a�b=a没有单位元,没有零元(d)不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元,没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16．设V=〈N，+，〉，其中+，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是加法不封闭（3）S3={-1，0，1}不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案为8.设S={0，1，2，3}，模4乘法，即"∀x,y∈S,xy=(xy)mod4〉问〈S，是否

7、构成群？为什么？y解：(1)∀x,y∈S,x=(xy)mod4∈S,是S上的代数运算。(2)∀x,y,z∈S,设xy=4k+r0≤r≤3y(x)z=((xy)mod4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4=(xyz)mod43(3)同理xyz)=(xyz)mod4(y(所以，(x)z=xyz)，结合律成立。x∀x∈S,(x1)=(1)=x,，所以1是单位元。(4)1−1=1,3−1=3,0和2没有逆元〉所以，〈S，不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下："∀x,y∈Z,