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时间:2020-06-12
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1、三角函数的化简,求值与证明一、基本知识点回顾1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:__________________________.(2)商数关系:__________________________.2.六组诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限3.两角和与差的正弦,余弦,正切公式cos(α-β)= (Cα-β)cos(α+β)= (Cα+β)sin(α-β)= (Sα-β)sin(α+β)= (Sα+β)tan(α-β)= (Tα-β)tan(α+β)= (Tα+β)4.二倍角公式sin2α=___
2、___________;cos2α=________________=____________=______________;tan2α=______________.5.辅助角公式acosα+bsinα=______________=________________,(其中a,b为常数)二、基础检测1.(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角,tanα=-,则cosα=________.2.若tanα=2,则的值为________.3.化简:sin200°cos140°-cos160°sin40°=____
3、_________________.4.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则=________.5.设sin(+θ)=,则sin2θ等于( ) A.-B.-C.D.6.若sin=,则cos的值为( )A.B.-C.D.-三、合作交流例1、已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.(1)求tanα的值;(2)把用tanα表示出来,并求其值.练习.(1)已知tanα=2,求sin2α+sinαcosα-2cos2α;(2)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ,求cosα.例2、(1)
4、化简:(0<θ<π);(2)求值:-sin10°.小结:三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.练习2.(1)化简:·;(2)求值:[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·.例3、(1)已知cos=,求cos的值;(2)已知π<α<2π,cos(α-7π)=-,求sin(3π+α)·tan的值.练习3.(1)化简:;(2)已知f(x)=,求f的值.(3)化简:sin+cos(n∈Z);(4)化简:(n∈Z).例4、(1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=
5、,求cos(α+β)的值;(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.小结:解这类问题的一般步骤为:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出所求的角.练习4.(2011·广东)已知函数f(x)=2sin,x∈R.(1)求f的值;(2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.例5、求证:sinθ(1+tanθ)+cosθ=+练习5.证明下列恒等式:(1)=;(2)=-tanα.小结:方法与技巧1.巧用公式变形:和差角公式变形:tan
6、x±tany=tan(x±y)·(1∓tanx·tany);倍角公式变形:降幂公式cos2α=,sin2α=;配方变形:1±sinα=2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立
7、的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=所对应的角α+β不是唯一的.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.四、过关检测1.若sin=,则cos等于( )A.-B.-C.D.2.已知f(α)=,则f的值为( )A.B.-C.D.-3.当08、.2C.-D.-26.已知cos=,则sin=________.7.已知sin=,则cos的值为________.8.=________.9.已知sinα·cosα=,且<α<,则cosα-sinα的值是________.10.设α∈,sinα+cosα=,则tanα=__________________________.11.已知cos=a(9、a10、≤1),则cos+sin的值是________.1
8、.2C.-D.-26.已知cos=,则sin=________.7.已知sin=,则cos的值为________.8.=________.9.已知sinα·cosα=,且<α<,则cosα-sinα的值是________.10.设α∈,sinα+cosα=,则tanα=__________________________.11.已知cos=a(
9、a
10、≤1),则cos+sin的值是________.1
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