巧引参变数求解一类最值问题.doc

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1、巧引参变数求解一类最值问题443000湖北省宜昌市夷陵中学徐勇不等式是高中数学的重点和难点，而不等式中的最值问题更是不等式内容中的一朵奇葩。求解不等式中的最值问题是一个庞大的问题，仁者见仁，智者见则，通过均值不等式、柯西不等式等定理解决最值问题是一条重要的途径，但在利用这些定理时往往不能一蹴而就，这时可以适当引入参变数以达到目的。本文试图通过几个例子说明引入参变数的一般策略。例1．设正实数满足，求的最小值。分析：此题方法很多，其中一个思路是化分式为整式，要做到这一点，可以在每项后加上一个式子，通过均值不等式去掉分母。解：当且仅当，即时，点评：因为目标式关于轮换对称，所以引入的三个式子系数相

2、等。例2．若正数满足求的最大值。分析：此题也有很多方法，比较容易想到的一种方法是对目标式平方，然后利用均值不等式去根号，转化为的和式，但为了得到常数，要求最后的系数之比应为，所以需要适当引入参变数。解：，当且仅当，即时等号成立，，点评：由条件可知只有轮换对称，故第一个根式不需要引入参变数，但第二、三个需要。例3．设，求函数的最小值分析：要求出的最小值，去根号是关键，可以根据柯西不等式的结构特点，在每个根式中构造出两个平方和相乘的形式。解：，，有：（*），当且仅当即时（*）式等号成立，即点评：引入参变数，保证的系数之比为是本题成功的关键。总之，在使用均值不等式、柯西不等式等定理求解最值问题需

3、要引入参变数时，需要认真对条件、目标作认真地分析，主要是观察各个变量是否能轮换、系数的关系等，最终参变数的确定要依靠均值不等式、柯西不等式等定理等号成立的条件。