2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编 专题三 二次函数和指数函数.doc

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1、2012年高考数学考前15天模拟解析分类汇编【高考预测】1.二次函数的图象和性质的应用2.指数函数与对数函数的图象和性质的应用3.函数的应用4.二次函数闭区间上的最值的问题5.三个“二次”的综合问题6.含参数的对数函数与不等式的综合问题【易错点点睛】易错点1二次函数的图象和性质的应用1．(2012模拟题精选)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围．【错误答案】依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f′(x)=-3

2、x2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f′≥0t＞3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x2-2x=3(x-)2-，∴当x=时，[g(x)]min=-∴t≥-即t的取值范围是[-,+∞].【错解分析】上面解答由t≥3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立得t大于或等于3x2-2x的最小值是错误的．因为若t≥[g(x)]min只能说存在一个x的值能使t≥3x2-2x成立，但不能保证x在(-1，1)上的每一个值都能使t≥3x2-2x成立．因而t应大于或等于g(x)在(-1，

3、1)上的最大值．【正确解答】解法1：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.则f′(x)=-3x2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f′(x)=-3x2+2x+t≥0在(-1，1)上恒成立，即t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x2-2x=3(x-)2-．∵对称轴为x=．∴g(x)

4、-3x2+2x+t，若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f′(x)≥0，∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线．∴当且仅当30t≥5时，f′(x)在(-1，1)上满足f′(x)>0．即f(x)在(-1，1)上是增函数．故t的取值范围是[5，+∞]．2．(2012模拟题精选)已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.(1)求a的值;(2)设0

5、1-1≤a≤1①又当x∈时,f(x)≥，即f(x)≥在上恒成立≤f(x)在上的最小值为f()∴f()≥．即≥.②综合，①，②知≤a≤1．【错解分析】上面解答错在f(x)在的最小值的计算上，由①得-1≤a≤1．∴∈(-,)，∴对称轴x=离端点较远，因此,f(x)的最小值应是f().而不是f().30(ⅱ)假设n=k(k≥2)时，不等式0＜ak＜成立，因为f(x)=x-x2的对称轴x=知f(x)在[0，]上为增函数，所以0

6、)(ⅱ)可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立.3．已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．【错误答案】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．解得0<-2-或-2+

7、2)问若没有a＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-，从而很不容易求得a的范围．【正确解答】(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a①由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0②因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0．即5a2-4a30-1=0，解得a=1或a=-.由于a＜0，舍去a=1．将a=-代入①得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.

8、(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a＜0，可得f(x)的最大值为-.由，解得a＜-2-或-2+＜a<0．【特别提醒】利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③