Chapter 4-1 向量组及其线性组合.ppt

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1、第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合向量及向量组的定义向量组等价定理的比较线性组合的定义一个向量能由一个向量组线性表示向量组B能由向量组A线性表示定义1n个有次序的数a1,a2,···,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.在这里我们只讨论实向量.一、向量及向量组的定义1.向量的定义n维列向量n维行向量n维向量可写成一行,也可写成一列,为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量与列向量都按矩阵的

2、运算规则进行运算.因此,n维列向量与n维行向量T是两个不同的向量.分别称记法：在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.在引进坐标系以后,这种向量就有了坐标表示式两(三)个有次序的实数,就因此,当n≤3时,n维向量可以把有是2(3)维向量.向线段作为几何形象,但当n>3时,n维向量就不再有这种几何形象,只是沿用一些术语罢了.几何中,“空间”通常是作为点的集合,即“空间”的元素是点,这样的空间叫做点空间.我们把2维向量的全体所组成的集合R2={r=(x,y)

3、T

4、x,yR}叫做二维向量空间.在点空间取定坐标以后,空间中的点P(x,y)与2维向量r=(x,y)T之间有一一对应的关系,因此,向量空间可以类比为取向量的集合定了坐标的点空间.l={r=(x,y)T

5、ax+by=c}也叫做向量空间R2中的直线.我们把3维向量的全体所组成的集合R3={r=(x,y,z)T

6、x,y,zR}叫做三维向量空间.在点空间取定坐标以后,空间中的点P(x,y,z)与3维向量r=(x,y,z)T之间有一一对应的关系,因此,向量空间可以类比为取向量的集合定了坐标的点空间.={r=(x,y,z)T

7、a

8、x+by+cz=d}也叫做向量空间R3中的平面.类似地,n维向量的全体所组成的集合Rn={x=(x1,x2,···,xn)T

9、x1,x2,···,xnR}叫做n维向量空间.n维向量的集合={x=(x1,x2,···,xn)T

10、a1x1+a2x2+···+anxn=b}叫做n维向量空间Rn中的n-1维超平面.2.向量组的定义就是一个由四个3维列向量1,2,3,4构成的定义若干个同维数的列向量(或同维数的向量组.例如行向量)组成的集合叫做向量组.对于一个m×n矩阵A=(aij):若令注：含有限个向量的有序向量组可以

11、与矩阵一一对应。A的第j列则矩阵A有n个m维列向量.A=(1,2,···,n).2,···,n构成一个m×n矩阵例如，n个m维列向量所组成的向量组1,成一个矩阵.反之,由有限个向量所组成的向量组可以构1T,2T,···,mT称为矩阵A的行向量组.则矩阵A有m个n维行向量,它们组成的向量组iT=(ai1,ai2,···,ain)(i=1,2,···,m),n称为矩阵A的列向量组.若令向量组1,2,···,A的第i行同理,m个n维行向量所组成的向量组1T,综上所述,一个矩阵与一个行向量组(或列向2

12、T,···,mT构成一个m×n矩阵量组)一一对应.前两章中常把m个方程n个未知量的线性方x1a1+x2a2+···+xnan=b,阵B的行向量组对应.若把方程组写成向量形式一个方程对应一个行向量,则方程组即与增广矩其增广矩阵B=(A,b)一一对应.这种对应看成程组写成矩阵形式Ax=b,从而方程组可以与3.线性方程组与向量组的关系则可见方程组与B的列向量组a1,a2,···,an,b之组与一个向量组一一对应.间也有一一对应的关系.综上所述,一个线性方程1.线性组合的定义为这个线性组合的系数.称为向量组A的一个线性组合,k1

13、,k2,···,km称k1a1+k2a2+···+kmam何一组实数k1,k2,···,km,表达式（向量）定义2给定向量组A:a1,a2,···,am,对于任二、向量组等价给定向量组A:a1,a2,···,am和向量b,如果存能由向量组A线性表示.则称向量b是向量组A的线性组合,这时称向量bb=1a1+2a2+···+mam,在一组数1,2,···,m,使2.一个向量能由一个向量组线性表示定理1向量b能由向量组A线性表示的充B=(a1,a2,···,am,b)的秩.要条件是矩阵A=(a1,a2,···,am)

14、的秩等于矩阵有解.x1a1+x2a2+···+xmam=b注：向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组由上章可得例1设证明向量b能由向量组1,2,3线性表示，并求出表示式.定义3设有两个向量组A:a1,a2,···,am及表示,则称这两个向量组等价.A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性向量组