截面图形的几何性质.ppt

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1、4截面图形的几何性质14截面图形的几何性质4.1截面的静矩与形心4.2惯性矩与惯性积4.3平行移轴公式4.4惯性矩和惯性积的转轴公式4.5截面的主惯性轴和主惯性矩24.1截面的静矩与形心1、静矩任意平面图形A（例如杆的横截面）建立yz坐标系（x轴为杆的轴线）平面图形的形心C(yc,zc)图形对y轴的静矩图形对z轴的静矩静矩的单位：m3,cm3,mm33，静矩的性质（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。（2）若yC,zC坐标轴过形心，则有（3）组合图形静矩可分块计算求代数和（4）求形心A2c2A1c12、形心的位置4.1截面的静矩与形心4例1试计算图示三角形

2、截面对于与其底边重合的z轴的静矩。解：取平行于x轴的狭长条，所以对x轴的静矩为4.1截面的静矩与形心5例2试计算图示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需计算yC将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。各矩形的面积和形心坐标如下：于是：4.1截面的静矩与形心64.2惯性矩与惯性积1、惯性矩图形对y，z轴的轴惯性矩惯性矩的单位：m4,cm4,mm474.2惯性矩与惯性积图形对原点的极惯性矩图形对z轴和y轴惯性半径8例3试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素，则同理因

3、为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积4.2惯性矩与惯性积9例4试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，故所以4.2惯性矩与惯性积10矩形：hbyz圆形：yzdz空心圆形：ydD4.2惯性矩与惯性积112、惯性积整个截面对于z、y两坐标轴的惯性积（1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。（2）若y,z轴有一为图形的对称轴，则Iyz=0。性质4.2惯性矩与惯性积12已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩及惯性积，现

4、需导出该截面对于与形心轴xC，yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为1、平行移轴公式4.3平行移轴公式134.3平行移轴公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为于是有注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩等于零，从而有144.3平行移轴公式同理可得以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。154.3平行移轴公式2、组合截面的惯性矩及惯性积若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为y2y1yx

5、bd1hOd2x164.3平行移轴公式例5试求图a所示截面对于x轴的惯性矩Ix，对于y轴的惯性矩Iy，以及对于x，y轴的惯性积Ixy。(a)174.3平行移轴公式解：将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置如图b所示。(1)求Ix设矩形对x轴的惯性矩为，每个半圆形对x轴的惯性矩为，则有其中：184.3平行移轴公式至于则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得，而半圆形对于直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴的惯性矩的一半，于是得19然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：将d=80mm，a=100mm代入后得从

6、而得图a所示截面对x轴的惯性矩：4.3平行移轴公式20（2）求惯性矩Iy此组合截面的y轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式而有将d=80mm，a=100mm代入后得4.3平行移轴公式21（3）求惯性积Ixy由可知，只要x轴或y轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积xydA数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图a所示截面的x轴和y轴都是对称轴，当然Ixy=0。4.3平行移轴公式224.4惯性矩和惯性积的转轴公式图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在

7、来求截面对于绕原点O旋转a角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩,和惯性积。23由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为于是有4.4惯性矩和惯性积的转轴公式24利用三角函数由上式得（a）同理，根据有（b）（c）式(a),(b),(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。4.4惯性矩和惯性积的转轴公式251.截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？思考:2.将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着什么？3.试利用从基本概念上论证(2)中的问题。4.4惯性矩和

8、惯性积的转轴公式26有截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角，只需利用