单位圆与正弦余弦线.ppt

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1、7.2.2单位圆与正弦、余弦线◆教学目标(一)知识与技能目标1．有向线段的概念．2．用单位圆中的线段表示三角函数值．(二)过程与方法目标理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向来表示三角函数值．(三)情感态度与价值观目标根据三角函数的定义导出三角函数线，数形沟边，发展思维．◆教学重点、难点1．教学重点：怎样用三角函数线表示三角函数值？2．教学难点：三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定？（一）复习引入1、任意角三角函数的定义◆教学过程设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴o

2、x，建立直角坐标系，在角α的终边上任取一点P(x,y)，把点P到原点的距离记作r,那么叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα=叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=OxyP(x,y)rαyxoP(x,y)正弦：余弦：正切：（1）为任意角，P(x,y)为角终边上非原点的任意一点（3）比值与点P在角终边上的位置无关（2）只要知道角的终边上任意一点的坐标就可以求出这个角的三角函数值.以上函数都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称叫三角函数．一、复习任意角

3、三角函数的定义sinαcosαtanα2、设α的终边与单位圆交点为P(x,y)，那么OxyP(x,y)11sin=____cos=____tan=____故：P(x,y)=P(cosα,sinα)这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。任意角的三角函数的单位圆定义：Ｐ(x,y)xyo巩固练习前面我们学习了任意角的三角函数。由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表

4、示法1.单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).(一)单位圆、有向线段的概念2.有向线段的概念与有向线段的大小：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的大小称为它的数量.有向线段的数量（数值）由其长度大小和方向来决定。例如在数轴上，

5、OA

6、=3，

7、OB

8、=3=3=-3在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标轴的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.例1.分别作出

9、、、的正弦线、余弦线、正切线。(四)练习Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM问题1:你能否用几何中的方法表示三角函数？Ｐ(x,y)xyoＰ(x,y)xyoMM三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMT有向线段称为角α的正弦线即sinα=有向线段称为角α的余弦线即cosα=有向线段称为角α的正切线即tanα=α的终边αyxA(1,0)OPMT终边落在第二象限sinα=cosα=tanα=α的终边αyxA(1,0)OPMT终边落在第三象限sinα=cosα=tanα=α的终边αyxA(1,0)POMT终边落在第

10、四象限sinα=cosα=tanα=α的终边αyxA(1,0)POα的终边αyxA(1,0)O三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMTPMTα的终边αyxA(1,0)OPMTMTsinα=cosα=tanα=例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。(四)练习例2　利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角x的集合：在0～2π之间满足条件的角x的终边必须在图中阴影部分内（包括边界），即π/3≤x≤2π/3，故满足条件的角x的集合为﹛x▏2kk∈z﹜在0～2π之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部分（不包括

11、边界），即Π/2cos1.5tan2

12、sinα

13、+

14、cosα

15、≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=

16、cosα

17、,MP=ON=

18、sinα

19、，因为三角形两边之和大于第三边，所以

20、sinα

21、+

22、cosα

23、≥1。练习2：

24、用三角函数线证明：例4.已知α∈(0，)，试证明sinα<α

25、ON

26、=

27、MP

28、,α=tanα=

29、AT

30、.又所以即sinα<α