动力系统-遍历性-通俗叙述.doc

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1、动力系统（遍历论）扫盲一直有人问我研究的到底是什么东西每当我说到动力系统大家总是不太能理解的样子或有稍懂点的担心这个不是纯数学而偏应用却也总好过被人联想到什么机械而每每我给人扫盲也苦于找不到合适的例子只能说一些应用的背景难免把人越说越糊涂不过兄弟姐妹们啊这次大概是福音来了最近遇到一个有趣的问题应该可以作为很好的启蒙教材完整学过高中数学的人应该都能看懂好了，言归正传问题是这样的：对于任意的正整数n2的n次方的首位数字是5的概率是多少？下面我们用动力系统的理论来解答这个问题首先要用动力系统的语言重新表述规定用LOG表示以10为底的对

2、数如果对2的n次方取以10为底的对数得到nLOG(2)那么如果一个数的首位数字是5取对数后会怎样呢？比如说2的8次方，512LOG(512)=LOG(100)+LOG(5.12)=2+LOG(5.12)2的19次方，524288LOG(524288)=LOG(100000)+LOG(5.24288)=5+LOG(5.24288)为什么我们要写成这样的形式呢？我们知道LOG(1)=0,LOG(10)=1所以LOG(5.12)和LOG(5.24288)介于0和1之间也就是说，它们分别是LOG(512)和LOG(524288)的小数部

3、分同样的道理，如果一个数的首位数字是6，比如64那么LOG(64)=LOG(10)+LOG(6.4)=1+LOG(6.4)它的小数部分是LOG(6.4)如果一个数的首位数字是4，比如4它的小数部分就是LOG(4)从这些例子我们可以发现对于任何一个数mm的首位数字和LOG(m)的小数部分是有着必然的联系的如果m的首位数字是5则LOG(m)的小数部分应该是LOG(5.xxxxx)也就是说，它的小数部分介于LOG(5)和LOG(6)之间反之亦然而如果它的小数部分大于或等于LOG(6)而小于LOG(7)那么它的首位数字就是6了因此，通过

4、取以10为底的对数2的n次方的首位数字是5的概率就等同于nLOG(2)的值的小数部分落在LOG(5)和LOG(6)之间的概率下面我们开始引用动力系统的概念和理论这些主要属于遍历论的范畴遍历论是动力系统中一个比较重要的分支也是我主要研究的分支OKLET‘SGO考虑一个周长为1的圆你可以把它想象成一个钟表的表盘就象表盘一样在12点的地方写上0然后沿顺时针方向圆上的点就可以表示0到1之间的小数比如6点的位置就代表0.53点的位置就代表0.250.1就是分针在6分钟时指的位置这样我们有了一个“数圆”（非专业术语）我们可以在这个圆上找到L

5、OG(2)然后定义一个映射f这个映射f把圆上的每一个点顺时针方向沿圆周移动LOG(2)个单位也就是说f(0)=LOG(2),f(0.1)=0.1+LOG(2)f(LOG(2))=LOG(2)+LOG(2)=2LOG(2)f(2LOG(2))=2LOG(2)+LOG(2)=3LOG(2)但是f(3LOG(2))呢？4LOG(2)已经大于1了也就是要转过12点的位置了应该不难理解f(3LOG(2))的位置是在4LOG(2)-1因为我们说了圆上的点表示小数就象时钟的分针，转了一圈又转回来而时针走过一格就好象整数部分加一但这里我们关心的

6、只是小数部分也就是圆上的点我们从0开始不断用f作用每次顺时针方向沿圆周转动LOG(2)个单位我们就得到了LOG(2),2LOG(2),3LOG(2),4LOG(2)-1,5LOG(2)-1,6LOG(2)-1,7LOG(2)-2,8LOG(2)-2,……也就是nLOG(2)的小数部分根据前面的讨论2的n次方的首位数字是5等同于nLOG(2)的小数部分介于LOG(5)和LOG(6)之间就等同于从0开始f迭代n次后落在LOG(5)和LOG(6)在圆上对应的点之间的弧上我们都知道LOG(2)是一个无理数，这样的映射f叫做无理旋转(ir

7、rationalrotation)（类似地，若旋转的单位数是有理数就叫有理旋转两者本质的区别在于有理旋转总可以经过若干次旋转将一个点转回到它本身而无理旋转一个点一旦开始旋转就再不可能回到它本身有理旋转的轨道是有限个点而无理旋转的轨道是无限个点而且是稠密的布满整个圆周，所以无理旋转是遍历的而有理旋转不是）遍历论的知识告诉我们无理旋转是遍历的(ergodic)遍历，又叫各态经历，意思就是经历各种状态关于遍历的映射有一个基本而重要的定理(BirkhoffErgodicTheorem)定理的一个特殊情况是说对于一个遍历映射，当迭代次数从

8、0到正无穷取值时映射的值落在某个确定的区间的概率就等于区间的测度什么是测度呢？可以简单理解为该区间在整个区间中所占的比重在这个问题里，圆周长已经是1了，那么区间的测度就等于弧长LOG(5)和LOG(6)在圆上对应的点之间的弧长就是LOG(6)-LOG(5)所以2