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《初等数论期末复习模拟题答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、试卷1答案一、单项选择题(每题3分,共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果是两个正整数,则存在(唯一)整数,使,.三、计算题(每题8分,共32分)1、求[136,221,391]=?(8分)解[136,221,391
2、]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]------------(4分)==104391=40664.------------(4分)2、求解不定方程.(8分)解:因为(9,21)=3,,所以有解;----------------------------(2分)化简得;-------------------(1分)考虑,有,-------------------(2分)所以原方程的特解为,-------------------(1分)因此,所求的解是。-------------
3、------(2分)3、解同余式.(8分)解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.----------(1分)又同余式等价于,即.------------(1分)我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------(2分)即定理4.1中的.------(1分)因此同余式的3个解为,---------(1分),-----------------(1分).---------(1分)4、求,其中563是素数.(8分)解把看成Jacobi符号,我们有------
4、---------(3分)----------------------(2分),-----------------(2分)即429是563的平方剩余.---------------(1分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.(10分)证明因为==,------(3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-----(2分)并且(2,3)=1,-----(1分)所以从和有,-----(3分)即是整数.-----
5、(1分)2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.(11分)证明因为,-------------(3分)所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1,7,1,19,7.对于模5,的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余,所以T---------(7分)所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。--------(1分)3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.(11分)证明设是正数,并且,----------(3分)如果,--
6、-------(1分)则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以,---------(4分)而这与的假设不符,---------(2分)即定理的结论成立.------(1分)