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1、初等数论期末练习题一、单项选择题2、如果,则=().ABCD3、小于30的素数的个数().A10B9C8D74、如果,是任意整数,则ABCTD5、不定方程().A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或98、公因数是最大公因数的().A因数B倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有().A4个B5个C2个D3个11、因为(),所以不定方程没有解.A[12,15]不整除7B(12,15)不整除7C7不整除(12,15)D7不整除[12,15]二、填空题1、有理数,,能写成循环小数的条件是().2、同余式
2、有解,而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().4、设是一正整数,Euler函数表示所有(),而且与()的正整数的个数.5、设整数,则()=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的()数码的和能被3整除.7、().8、同余式有解,而且解的个数().9、在176与545之间有()是17的倍数.10、如果,则=().11、的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果,那么=().三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程.(8分)3、求,其中563是素数.(8分)4、解同余式.(8分)5、求[525,23
3、1]=?6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解?8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.(11分)2、证明当是奇数时,有.(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.《初等数论》期末练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B8、A9、A11、B二、填空题1、有理数,,能写成循环小数
4、的条件是().2、同余式有解,而且解的个数为(3).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41).4、设是一正整数,Euler函数表示所有(不大于),而且与(互素)的正整数的个数.5、设整数,则()=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(十进位)数码的和能被3整除.7、().8、同余式有解,而且解的个数(3).9、在176与545之间有(12)是17的倍数.10、如果,则=().11、的最小公倍数是它们公倍数的(因数).12、如果,那么=(1).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解:因为(24871,3468)=17所以[
5、24871,3468]==5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。2、求解不定方程.(8分)解:因为(107,37)=1,所以有解;考虑,有,所以,原方程特解为=225,=-650,所以通解为3、求,其中563是素数.(8分)解把看成Jacobi符号,我们有,即429是563的平方剩余.4、解同余式.(8分)解因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程.我们再解不定方程,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的.因此同余式的3个解为,,.5、求[525,231]=?解:解:因为(525,2
6、31)=21所以[525,231]==57756、求解不定方程.解:因为(6,11),所以有解;考虑,有。所以,特解为,通解为。7、判断同余式是否有解?(8分)解我们容易知道1847是素数,所以只需求的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解.因为,所以.再,所以,所以,=1.于是所给的同余式有解.8、求11的平方剩余与平方非剩余.解因为,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.又因为,,,,,所以,1,3,4,5,9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数,2,6,7,8,10是素数11的平方非剩余.四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必
7、是9的倍数.(11分)证明因为,=,所以,-=而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.2、证明当是奇数时,有.(10分)证明因为,所以.于是,当是奇数时,我们可以令.从而有,即.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.(11分)证明(1)设,则显然.(2)如果,那么==.4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.(11分)证明设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,.因为100(mod5),所以我们得到所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数.
8、5、如果是两个整数,,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明首先证明